[논문 리뷰] The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions

Atsushi Narukawa|ArXiv.org|2003. 06. 10.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 5인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 다중 사인 함수의 적분 표현과 무한 곱 표현을 유도하여 다중 타원 함수의 모듈러성 성질을 확립한다. 이 두 표현의 동치성은 다중 감마 함수의 모듈러 항등식을 이끌어낸다. 주요 결과는 펄러와 바르첸코의 타원 감마 함수에 대한 모듈러 변환을 다중 블록 감마 함수로 일반화한 것으로, 다중 베르누이 다항식과 $q$-이동 계승의 관계를 통해 달성된다.

ABSTRACT

We show the modular properties of the multiple 'elliptic' gamma functions, which are an extension of those of the theta function and the elliptic gamma function. The modular property of the theta function is known as Jacobi's transformation, and that of the elliptic gamma function was provided by Felder and Varchenko. In this paper we deal with the multiple sine functions, since the modular properties of the multiple elliptic gamma functions result from the equivalence between two ways to represent the multiple sine functions as infinite product. We also derive integral representations of the multiple sine functions and the multiple elliptic gamma functions. We introduce correspondences between the multiple elliptic gamma functions and the multiple sine functions.

연구 동기 및 목표

• 타원 감마 함수와 제타 함수의 모듈러 성질을 고차원 다중 타원 감마 함수로 확장한다.
• 다중 사인 함수 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$의 적분 표현과 무한 곱 표현을 수립한다.
• 다중 사인 함수 $S_r$의 두 가지 다른 무한 곱 표현이 서로 동치임을 보이고, 이로부터 $G_r$에 대한 모듈러 변환을 이끌어낸다.
• 경로 적분과 일반화된 다중 로그로그함수를 사용하여 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$의 적분 표현을 유도한다.
• $G_r$을 다중 베르누이 다항식과 경로 적분을 포함한 무한 곱 공식을 통해 $S_{r+1}$과 연결한다.

제안 방법

• Nishizawa의 다중 타원 감마 함수 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$를 $q$-이동 계승 $(x;\underline{q})_\infty^{(r)}$를 통해 정의한다.
• 다중 사인 함수 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$의 두 가지 무한 곱 표현 간의 동치성을 이용하여 $G_r$에 대한 모듈러 항등식을 도출한다.
• 복소 평면에서 경로 적분을 적용하며, 작은 양의 허수 이동($\mathbb{R}+i\epsilon$)을 고려하여 적분 표현을 유도한다.
• 일반화된 $q$-다중로그함수와 다중 베르누이 다항식 $B_{rr}(z|\underline{\omega})$의 지수를 사용하여 함수를 표현한다.
• 핵심 항등식 유도: $\prod_{k=1}^r G_{r-2}(z/\omega_k | \text{비율}) = \exp\left\{-\frac{2\pi i}{r!}B_{rr}(z|\underline{\omega})\right\}$, $r \geq 2$.
• 보정 항으로 다중 베르누이 다항식의 차이를 포함한 $S_{r+1}$ 함수의 무한 곱으로 $G_r$를 표현하는 것을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 타원 감마 함수 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$의 모듈러 성질은 타원 함수와 감마 함수의 모듈러 성질을 어떻게 일반화하는가?
• RQ2 다중 사인 함수 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$의 적분 표현과 무한 곱 표현은 무엇인가?
• RQ3 다중 사인 함수 $S_r$의 두 가지 무한 곱 표현 간의 동치성은 어떻게 $G_r$에 대한 모듈러 항등식을 이끌어내는가?
• RQ4 $G_r(z|\underline{\tau})$는 명시적인 보정 항을 포함한 $S_{r+1}$ 함수의 무한 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 다중 베르누이 다항식 $B_{rr}(z|\underline{\omega})$는 $G_r$의 모듈러 변환에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다중 감마 함수 $G_r$의 모듈러 성질은 다중 사인 함수 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$의 두 무한 곱 표현 간의 동치성에서 유도된다.
• 항등식 $\prod_{k=1}^r G_{r-2}(z/\omega_k | \text{비율}) = \exp\left\{-\frac{2\pi i}{r!}B_{rr}(z|\underline{\omega})\right\}$는 $r \geq 2$ 및 $\mathrm{Im}(\omega_j/\omega_k) \neq 0$일 때 성립한다.
• 특히 $r=2$일 경우, 이 항등식은 펄러와 바르첸코의 타원 감마 함수 $\Gamma(z,\tau,\sigma)$에 대한 모듈러 변환을 복원한다.
• 모듈러 항등식의 함수 $Q(z;\tau,\sigma)$는 $-\frac{1}{3}B_{33}(z|\tau,\sigma,-1)$와 동일하다고 밝혀졌다.
• 복소 평면에서 $\mathbb{R}+i\epsilon$를 따라 이동하는 경로 적분을 사용하여 $G_r(z|\underline{\tau})$의 적분 표현이 도출되었다. 이 표현은 삼각함수 및 지수항을 포함한다.
• 보정 항으로 $\exp\left\{\frac{\pi i}{(r+1)!}(B_{r+1,r+1}(z+k+1|\underline{\tau}) - B_{r+1,r+1}(z-k|\underline{\tau}))\right\}$을 포함한 $S_{r+1}$ 함수의 무한 곱으로 $G_r$의 표현이 확립되었다.