[논문 리뷰] The modular variety of hyperelliptic curves of genus three

Eberhard Freitag, Riccardo Salvati Manni|ArXiv.org|2007. 10. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차 초타원곡선의 모듈리 공간에 대한 새로운 기하 모델을 구축한다. 이는 시에겔 모듈라 3차 곡면에서의 초타원곡선 부분공간의 사타케 컴팩티피케이션, P¹ 위의 8점 구성의 GIT 컴팩티피케이션, 그리고 M₀,₈ 모듈리 공간 사이의 유리 사상의 분석을 통해 이루어진다. 주요 기여는 GIT 모델에서 시에겔 모델로 향하는 유리 사상의 기저 다양체의 블로우업이 M₀,₈와 동형인 매끄러운 모델을 얻는다는 것을 증명하는 것으로, 이 구성은 테타 특성치와 히그너 다발을 통한 두 컴팩티피케이션 간의 조합적 이중성에 대한 설명을 제공한다.

ABSTRACT

The modular variety of non singular and complete hyperelliptic curves with level-two structure of genus 3 is a 5-dimensional quasi projective variety which admits several standard compactifications. The first one, X, comes from the realization of this variety as a sub-variety of the Siegel modular variety of level two and genus three .We will be to describe the equations of X in a suitable projective embedding and its Hilbert function. It will turn out that X is normal. A further model comes from geometric invariant theory using so-called semistable degenerated point configurations in (P^1)^8 . We denote this GIT-compactification by Y. The equations of this variety in a suitable projective embedding are known. This variety also can by identified with a Baily-Borel compactified ball-quotient. We will describe these results in some detail and obtain new proofs including some finer results for them. We have a birational map between Y and X . In this paper we use the fact that there are graded algebras (closely related to algebras of modular forms) A,B such that X=proj(A) and Y=proj(B). This homomorphism rests on the theory of Thomae (19th century), in which the thetanullwerte of hyperelliptic curves have been computed. Using the explicit equations for $A,B$ we can compute the base locus of the map from Y to X. Blowing up the base locus and the singularity of Y, we get a dominant, smooth model { ilde Y}. We will see that { ilde Y} is isomorphic to the compactification of families of marked projective lines (P^1,x_1,...,x_8), usually denoted by {\bar M_{0,8}}. There are several combinatorial similarities between the models X and Y. These similarities can be described best, if one uses the ball-model to describe Y.

연구 동기 및 목표

• 3차 시에겔 모듈라 3차 곡면의 사타케 컴팩티피케이션에서 초타원곡선 부분공간의 방정정식과 힐베르트 함수를 기술하는 것.
• P¹ 위의 8점 구성의 GIT 컴팩티피케이션에서의 유리 사상의 기저 다양체의 블로우업을 통해 M₀,₈ 모듈리 공간의 새로운 기하적 실현을 확립하는 것.
• 기저 다양체의 블로우업이 M₀,₈와 동형인 매끄러운 모델을 얻는다는 것을 증명함으로써, M₀,₈의 명시적 기하적 기술을 제공하는 것.
• 특성 2에서의 심플렉틱 구조와 직교 구조의 상호작용을 통해, GIT 모델과 볼-몫 모델 간의 조합적 이중성에 대한 설명을 제공하는 것.

제안 방법

• 시에겔 측면의 모듈라 형식의 환에서 구성 공간 측면의 불변량 환으로의 계층적 대수 준동형사상을 구성하기 위해 톰에이의 공식과 머피의 접근을 사용하는 것.
• GIT 컴팩티피케이션 Y에서 초타원곡선 부분공간 X로 향하는 유리 사상의 기저 다양체를 명시적으로 계산하여, 이가 0으로 합이 나는 홀수 테타 특성치의 3중항에 대응하는 56개의 선형 공간의 합집합임을 보이는 것.
• 기저 다양체의 블로우업을 통해 유리 사상을 해소하고, X로의 정규 사상이 존재하는 새로운 모델 Y*를 생성하는 것.
• 35개의 예외적 유리 표면(극점의 역상)을 추가로 블로우업하여 매끄러운 모델 Ŷ를 얻는 것으로, 이 모델이 M₀,₈와 동형임을 보이는 것.
• 테타 특성치와 히그너 다발 이론을 활용하여, 블로우업의 이미지가 시에겔 모듈라 다양체 내에서 어떻게 나타나는지 분석하는 것.
• P¹의 8중 곱 (P¹)⁸//SL(2)에 대한 불변량의 계층적 대수는 고르스타인이며, K3 곡면 기법을 피함으로써 군 Γ[1−i]의 전체 모듈라 형식 환을 기술하는 데에 활용되는 사실을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P¹ 위의 8점 구성의 GIT 컴팩티피케이션에서 사타케 컴팩티피케이션의 초타원곡선 부분공간으로 향하는 유리 사상의 기저 다양체의 구조는 무엇인가?
• RQ2 M₀,₈ 모듈리 공간은 GIT 모델과 초타원곡선 부분공간의 블로우업을 통해 어떻게 기하적으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 볼-몫 모델 내의 히그너 다발과 시에겔 모듈라 다양체 내 초타원곡선 부분공간의 구성 요소 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 왜 GIT 모델과 볼-몫 모델은 조합적으로 유사성을 보이며, 이 대칭성은 어떻게 설명되는가?
• RQ5 군 Γ[1−i]의 전체 모듈라 형식 환은 K3 곡면 이론 없이 순수하게 대수적으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• GIT 컴팩티피케이션 Y에서 초타원곡선 부분공간 X로 향하는 유리 사상의 기저 다양체는 0으로 합이 나는 홀수 테타 특성치의 3중항에 대응하는 56개의 선형 부분다양체의 합집합이다.
• 이 기저 다양체의 블로우업은 M₀,₈의 안정 8점 유리곡선 모듈리 공간과 동형인 매끄러운 모델 Y*를 생성한다.
• 각 극점의 역상은 Y* 내에서 서로소인 유리 표면이며, 이를 블로우업하면 M₀,₈와 동형인 매끄러운 모델 Ŷ를 얻는다.
• 기저 다양체의 각 성분의 블로우업 이미지는 6개의 테타널울값이 0이 되는 조건을 만족하는, 분해 가능 초타원곡선 부분공간의 기약 성분이 된다.
• 35개의 극점의 블로우업 이미지는 X 내에서 2차원 성분으로 사라지며, 이 성분들은 18개의 테타널울값의 영이 되는 조건을 만족한다: θ[0], θ[m], 그리고 16개의 홀수 nᵢ에 대해 θ[nᵢ]이며, m+nᵢ가 홀수여야 한다.
• P¹의 8중 곱 (P¹)⁸//SL(2)에 대한 불변량의 계층적 대수는 고르스타인이며, K3 곡면 이론을 피함으로써 군 Γ[1−i]의 전체 모듈라 형식 환을 실현하는 데에 사용되며, 새로운 대수적 기술을 제공한다.