[논문 리뷰] The moduli space of genus 4 even spin curves is rational

Hiromichi Takagi, Francesco Zucconi|ArXiv.org|2009. 04. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 모리 이론과 오목한 5차 델 페초 3차 곡면 $B$의 기하학을 활용하여, 종수 4의 짝수 스플린 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{S}^+_{4}$ 가 유리적임을 증명한다. $B$ 상의 6차 정규 유리 곡선의 하이르베르트 스킴에서 $\mathcal{S}^+_{4}$ 로의 비유계 사상과 $G = \mathrm{PGL}_2$-등변 해소를 구성함으로써, 저자들은 $\mathcal{S}^+_{4}$ 가 $\mathbb{P}^9$ 와 비유계임을 보이며, 이는 그 유리성을 입증한다.

ABSTRACT

By the technique of 3-fold Mori theory, we prove that the moduli space whose general point parameterizes a couple of a smooth curve of genus 4 and a halfcanonical divisor with vanishing global section is rational.

연구 동기 및 목표

• 종수 4 짝수 스플린 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{S}^+_{4}$ 의 비유계 기하학을 규명하는 것.
• Farkas의 고종수에 대한 결과와 $\mathcal{M}_4$ 의 알려진 유리성에 기반하여, $\mathcal{S}^+_{4}$ 의 유리성 문제를 해결하는 것.
• 오목한 5차 델 페초 3차 곡면 $B$ 의 기하학적 기법을 사용하여 $\mathcal{S}^+_{4}$ 와 $\mathbb{P}^9$ 간의 비유계 동치를 확립하는 것.
• biregular 및 비유계 기하학의 방법을 $B$ 에 적용하여, 곡선과 테타 특성치의 명시적 구성으로 유리성을 증명하는 것.

제안 방법

• 다음 조건을 만족하는 오목한 5차 델 페초 3차 곡면 $B$ 를 사용한다: $-K_B = 2H$ 이고 $H^3 = 5$ 로, $|H|$ 를 통해 $\mathbb{P}^6$ 에 매립된다.
• 하이르베르트 스킴 $\mathcal{H}$ 에서 $B$ 상의 6차 정규 유리 곡선을 다루는 비유계 사상 $\pi_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \mathcal{H} \dashrightarrow \mathcal{S}^+_{4}$ 를 구성한다.
• 하이르베르트 스킴 $\mathcal{H}$ 에 $G = \mathrm{PGL}_2$-작용을 도입하고, 정의되지 않은 점의 해소와 스텐 인자 분해를 통해 $p_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \mathcal{H} \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{S}}^+_{4}$ 와 $q_{{\mathcal{S}}^+_{4}}: \widetilde{\mathcal{S}}^+_{4} \dashrightarrow \mathcal{S}^+_{4}$ 를 얻는다.
• 각 6차 곡선에 대해 $B$ 상의 여섯 개의 이중점선을 할당하는 비유계 동형사상 $\Theta: \widetilde{U}_0 \to ({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ 를 정의하며, 이 $\Theta$ 가 비유계임을 보인다.
• 관련 다양체 $\mathcal{V}$ 상의 유리적 반사 $J$ 를 구성하고, 이의 총공간으로의 확장을 증명하며, $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ 가 내림내림에 의해 유리적임을 보인다. 이는 $\mathcal{W} = W_2 / j$ 가 유리적이므로 성립한다.
• 위의 구성들을 종합하고 $\Theta$ 의 비유계성을 고려하여, $\mathcal{S}^+_{4}$ 가 $\mathcal{R}$ 와 비유계임을 보이며, 따라서 $\mathcal{S}^+_{4}$ 는 유리적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 4 짝수 스플린 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{S}^+_{4}$ 는 유리적인가?
• RQ2 오목한 5차 델 페초 3차 곡면 $B$ 의 기하학을 이용하여 $\mathcal{S}^+_{4}$ 의 유리성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 오목한 5차 델 페초 3차 곡면 $B$ 상의 6차 유리 곡선의 하이르베르트 스킴은 이중점선을 통해 $({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ 로 비유계 매개화될 수 있는가?
• RQ4 $B$ 상에서 $G = \mathrm{PGL}_2$-등변 구성이 모듈리 사상 $\mathcal{S}^+_{4}$ 로의 해소를 이끌 수 있는가?
• RQ5 몫 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ 는 유리적인가, 그리고 $\mathcal{S}^+_{4}$ 를 비유계적으로 지배하는가?

주요 결과

• 종수 4 짝수 스플린 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{S}^+_{4}$ 는 $\mathbb{P}^9$ 와 비유계이므로 유리적이다.
• 오목한 5차 델 페초 3차 곡면 $B$ 상의 6차 정규 유리 곡선의 하이르베르트 스킴 $\mathcal{H}$ 는 기약적이며, $G = \mathrm{PGL}_2$-작용을 갖는다.
• 각 6차 곡선에 대해 이중점선을 할당하는 사상 $\Theta: \widetilde{U}_0 \to ({\mathbb{P}}^2)^6 / \mathfrak{S}_6$ 는 비유계이며, 핵심적인 매개화를 확립한다.
• 다양체 $\mathcal{V}$ 상의 유리적 반사 $J$ 는 총공간으로 확장되며, 몫 $\mathcal{R} = \mathcal{V}/J$ 는 유리적이다.
• 다양체 $\mathcal{W} = W_2 / j$ 는 유리적이고, $\mathcal{R}$ 가 $\mathcal{W}$ 상의 $\mathbb{P}^5$-_bundle 이므로 $\mathcal{R}$ 도 유리적이다.
• 모듈리 공간 $\mathcal{S}^+_{4}$ 가 $\mathcal{R}$ 와 비유계임을 고려하면, $\mathcal{S}^+_{4}$ 는 유리적이다.