[논문 리뷰] The moduli space of stable coherent sheaves via non-archimedean geometry

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 51인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은离散환의 형식 스킴과 베르코비치 해석적 공간을 사용하여 비아르키메데스 기하학을 통해 안정적인 코herent sheaf의 모듈리 공간을 구축한다. d-비판적 구조와 모티브 적분을 비아르키메데스 설정으로 일반화하고, Maulik의 결과를 확장하는 모티브 국소화 공식을 증명하며, 비아르키메데스 도널드슨-토머스 불변량의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

We provide a construction of the moduli space of stable coherent sheaves in the world of non-archimedean geometry, where we use the notion of Berkovich non-archimedean analytic spaces. The motivation for our construction is Tony Yue Yu's non-archimedean enumerative geometry in Gromov-Witten theory. The construction of the moduli space of stable sheaves using Berkovich analytic spaces will give rise to the non-archimedean version of Donaldson-Thomas invariants. In this paper we give the moduli construction over a non-archimedean field $\kk$. We use the machinery of formal schemes, that is, we define and construct the formal moduli stack of (semi)-stable coherent sheaves over a discrete valuation ring $R$, and taking generic fiber we get the non-archimedean analytic moduli of semistable coherent sheaves over the fractional non-archimedean field $\kk$. For a moduli space of stable sheaves of an algebraic variety $X$ over an algebraically closed field $κ$, the analytification of such a moduli space gives an example of the non-archimedean moduli space. We generalize Joyce's $d$-critical scheme structure in \cite{Joyce} or Kiem-Li's virtual critical manifolds in \cite{KL} to the world of formal schemes, and Berkovich non-archimedean analytic spaces. As an application, we provide a proof for the motivic localization formula for a $d$-critical non-archimedean $\kk$-analytic space using global motive of vanishing cycles and motivic integration on oriented formal $d$-critical schemes. This generalizes Maulik's motivic localization formula for motivic Donaldson-Thomas invariants.

연구 동기 및 목표

• 베르코비치 공간을 사용하여 비아르키메데스 해석 기하학의 프레임워크 안에서 (준)안정 코herent sheaf의 모듈리 공간을 구축하는 것.
• 조이스의 d-비판적 스킴 구조와 킴-리의 가상의 비판적 다양체를 형식 스킴과 비아르키메데스 해석 공간으로 일반화하는 것.
• 글로벌 모티브와 모티브 적분을 사용하여 비아르키메데스 d-비판적 해석 공간에 대한 모티브 국소화 공식을 수립하는 것.
• 모듈리 공간의 해석화를 통해 비아르키메데스 도널드슨-토머스 불변량의 해석적 대응을 제공하는 것.
• 특히, 방향이 부여된 형식 d-비판적 스킴에 대해 Maulik의 모티브 국소화 공식을 비아르키메데스 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 이산 환 R 위의 형식 스킴을 사용하여 (준)안정 코herent sheaf의 형식 모듈리 스택을 정의한다.
• 일반 성분을 취하여 K 위의 베르코비치 비아르키메데스 해석적 모듈리 공간을 얻는다.
• 아르틴의 기준을 적용하여 모듈리 함자를 대수적 스택으로서 표현 가능함을 증명한다.
• 모티브 적분을 통해 방향이 부여된 형식 d-비판적 스킴 위에서 사라지는 순환의 글로벌 모티브를 도입한다.
• 사라지는 순환의 글로벌 모티브를 사용하여 Gm-작용 하에서 비아르키메데스 버전의 모티브 국소화 공식을 수립한다.
• 해석화된 대수적 모듈리 공간을 비아르키메데스 모듈리 공간의 예로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베르코비치 해석적 공간을 사용하여 비아르키메데스 기하학의 세계에서 안정 코herent sheaf의 모듈리 공간을 구축할 수 있는가?
• RQ2 대수기하학에서의 d-비판적 구조는 어떻게 형식 스킴과 비아르키메데스 해석 공간으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 비아르키메데스 d-비판적 해석 공간에 대한 모티브 국소화 공식이 존재하는가, 그리고 이는 Maulik의 공식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이 구축을 통해 비아르키메데스 도널드슨-토머스 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ5 Gm-작용은 비아르키메데스 불변량의 모티브 국소화에서 어떤 역할을 하는가, 특히 표준 조건이 실패할 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 스티프트 형식 스킴 위에서 (준)안정 코herent sheaf의 형식 모듈리 함자는 아르틴의 기준을 통해 대수적 스택으로서 표현 가능하다.
• 대수적으로 닫힌 체 위에서 안정 복합체의 모듈리 공간의 해석화는 비아르키메데스 해석적 모듈리 공간의 구체적 예를 이룬다.
• 글로벌 모티브와 모티브 적분을 사용하여 비아르키메데스 d-비판적 해석 공간에 대한 모티브 국소화 공식이 증명되었다.
• 이 공식은 모티브 도널드슨-토머스 불변량에 대해 Maulik의 모티브 국소화 공식을 비아르키메데스 설정으로 일반화한다.
• 이 구축은 해석화된 대수적 모듈리 공간을 통해 비아르키메데스 도널드슨-토머스 불변량을 정의하는 데 기초를 마련한다.
• 논문은 고립된 고정점에서의 Behrend 함수가 가상 지수에 대응한다고 추측하지만, 전체 공식은 아직 열려 있다.