[논문 리뷰] The Moduli Space of Stables Maps with Divisible Ramification

Oliver Leigh|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분할 가능 임의의 분기 조건을 가진 안정 사상의 모듈리 공간에 대해 자연스러운 컴actification을 구축한다. 여기서 모든 분기 divisor는 r중이다. 종수 0 사상에 대해 완전한 오염 이론과 가상 기본류를 수립하며, 분기 조건을 정규화된 섹션의 r제곱근을 통해 정의함으로써 r-스핀 허리츠 이론과 가상 국소화를 통한 r-스핀 ELSV 공식에의 적용이 가능해진다.

ABSTRACT

We develop a theory for stable maps to curves with divisible ramification. For a fixed integer $r>0$, we show that the condition of every ramification locus being divisible by $r$ is equivalent to the existence of an $r$th root of a canonical section. We consider this condition in regards to both absolute and relative stable maps and construct natural moduli spaces in these situations. We construct an analogue of the Fantechi-Pandharipande branch morphism and when the domain curves are genus zero we construct a virtual fundamental class. This theory is anticipated to have applications to $r$-spin Hurwitz theory. In particular it is expected to provide a proof of the $r$-spin ELSV formula [SSZ'15, Conj. 1.4] when used with virtual localisation.

연구 동기 및 목표

• 고정된 정수 r에 대해 분할 가능 분기 조건을 가진 안정 사상의 컴 pact 모듈리 공간을 개발하기 위해.
• 분기 조건을 정규화된 섹션의 r제곱근을 사용하여 재구성하여, 특이점과 노드 곡선 설정에서도 컴 pact화가 가능하도록 하기 위해.
• 분할 가능 분기 조건을 가진 종수 0 사상에 대해 가상 기본류를 구성하기 위해.
• Fantechi-Pandharipande 분기 사상의 일반화를 이 설정에서 수행하기 위해.
• 가상 국소화 기법을 사용하여 r-스핀 ELSV 공식을 증명하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 도메인 곡선 C 위의 선다발 L, L의 섹션 σ, 그리고 e:L^r → ω_C ⊗ f^*ω_X^∨ 인 등급화를 정의하여 e(σ^r) = δ를 만족시키며, 여기서 δ는 미분 사상의 쌍대이다.
• 특이 도메인을 다루고 적절한 컴 pact화를 보장하기 위해, 거칠은 r-오비폴드 점이 군의 중심에 대응하는 r-예비안정 곡선 스택을 사용한다.
• Fantechi-Pandharipande 사상과 유사한 분기 사상으로, 분기 덮개의 공간으로 향하는 사상을 구성한다.
• 안정 사상의 모듈리 공간에서 열린 타겟 공간으로의 평탄한 사상에 의한 풀어내기로 완전한 오염 이론을 수립한다.
• 콘 구조와 호모토피 범주를 사용하여 종수 0에서 가상 기본류를 정의한다.
• 종수 0에서 평탄한 에탈 기저 변경을 활용하여, 부분 컴 pact화에서 전체 모듈리 공간으로의 완전한 오염 이론을 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 가능 분기 조건(즉, 분기 divisor가 r로 나누어지는 조건)은 안정 사상의 모듈리 공간에서 어떻게 자연스럽게 컴 pact화될 수 있는가?
• RQ2 특이점과 노드 곡선으로까지 확장 가능한 분할 가능 분기 조건의 올바른 기하학적 표현은 무엇인가?
• RQ3 도메인이 종수 0일 경우, 분할 가능 분기 조건을 가진 안정 사상의 모듈리 공간에 대해 가상 기본류를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 설정에서 r-분할 가능 분기 조건에 대해 분기 사상은 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 이 모듈리 공간과 r-스핀 허리츠 이론 사이의 관계는 무엇이며, 특히 r-스핀 ELSV 공식을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 분할 가능 분기 조건을 가진 안정 사상의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g}(X,d)$ 는 올바른 딜레인-무드포트 스택이다.
• 이 공간은 r가 $2g - 2 - d(2g_X - 2)$ 를 나누는 경우에만 비어 있지 않으며, 이는 위상적 장벽 조건이 충족됨을 보장한다.
• 잊어버림 사상 $\chi: \overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g}(X,d) \to \overline{\mathcal{M}}_{g}(X,d)$ 는 평탄하고 상대 차원이 0이며, r-분할 가능 분기 조건을 가진 사상의 열린 열린 부분에서 임베딩이다.
• 종수 0일 경우, 완전한 오염 이론이 존재하여, 기대 차원 m에 해당하는 차원의 가상 기본류가 존재한다.
• 가상 기본류는 r제곱근 자료를 사용하여 상대 쌍대 복합체의 풀어내기 위에 콘 구조를 구성함으로써 정의된다.
• 부분 컴 pact화에서의 에탈 기저 변경을 통해, 종수 0에서 가상 기본류가 전체 모듈리 공간으로 내림내림된다.