[논문 리뷰] The moments of the distance between two random points in a regular polygon

Uwe Bäsel|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 11.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 외접반지름이 r인 정n각형 내에서 균일하게 임의로 선택된 두 점 사이의 거리의 모멘트에 대한 닫힌 형태의 해석적 표현을 유도한다. 기하확률 이론과 Voss의 현수줄 거듭제곱 적분 결과를 활용하여, 첫 번째, 두 번째, 네 번째 모멘트에 대한 정확한 공식을 제공하며, n = 5, 8, 10, 12에 대한 새로운 결과와 n ≤ 30까지의 고정밀도 값(75–76자리)을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive formulas for the analytical calculation of the moments of the distance between two uniformly and independently distributed random points in an $n$-sided regular polygon. A number of closed form expressions is provided, e.g. the expected distances for $n = 3,4,5,6,8,10,12$, where the results for $n = 5,8,10,12$ are new to the best of the author's knowledge. Applying results of Voss, remarkably short formulas for the second and the fourth moments are derived.

연구 동기 및 목표

• 정다각형 내에서 균일하게 임의로 선택된 두 점 사이의 거리에 대한 m차 모멘트에 대한 해석적 공식을 도출하는 것.
• 특정 정다각형에 대해 평균 거리(첫 번째 모멘트)와 고차 모멘트(두 번째, 네 번째)에 대한 닫힌 형태의 표현을 제공하는 것.
• 기하확률 분야의 기존 결과를 확장하여, 본 연구자 지식에 비추어 n = 5, 8, 10, 12에 대한 새로운 정확한 공식을 제공하는 것.
• Voss 및 기타 연구 결과를 활용하여 두 번째 및 네 번째 모멘트에 대해 간결한 표현을 도출하는 것.
• 정오각형에 대해 첫 번째 모멘트부터 제10차 모멘트까지의 고정밀도 수치값(75–76자리)을 제공하는 것.

제안 방법

• 이전 연구에서 유도된 현수줄 길이 분포 함수 F_{n,r}의 간소화된 형태를 유도하여, 후속 모멘트 계산을 가능하게 한다.
• 누적분포함수 G_{n,r}를 사용하여 적분을 통해 모멘트를 계산하며, 부정적분을 닫힌 형태로 도출한다.
• Voss의 결과를 적용하여 두 번째 모멘트 M_2(P_{n,r})에 대해 놀랍게 간단한 공식을 도출함으로써 분산 계산을 단순화한다.
• 문헌 [30]의 두 번째 면적 관성 모멘트 결과를 활용하여 네 번째 모멘트 M_4(P_{n,r})에 대한 간결한 표현을 유도한다.
• 모든 n에 대해 π/n의 삼각함수로 모멘트를 표현함으로써, 임의의 n에 대해 정확한 기호 계산이 가능해진다.
• n → ∞일 때 M_4(P_{n,r}) → (5/3)r^4로 수렴함을 보여 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외접반지름이 r인 정n각형 내에서 두 점 간 거리의 m차 모멘트에 대한 정확한 닫힌 형태의 공식은 무엇인가? m = 1, 2, 4 및 특정 n에 대해.
• RQ2 기하확률 분야의 기존 결과를 활용하면 두 번째 및 네 번째 모멘트를 어떻게 극히 간단한 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ3 n = 3에서 30까지의 첫 번째 모멘트 M_1(P_{n,r})/r의 고정밀도 값은 무엇이며, m = -1에서 10까지의 M_m(P_{5,r})/r^m는 어떠한가?
• RQ4 정다각형의 모멘트는 n이 증가함에 따라 원의 모멘트로 수렴하는가?
• RQ5 현수줄 거듭제곱 적분 S_m(P_{n,r})와 모멘트 M_m(P_{n,r}) 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 네 번째 모멘트에 대해 새로운 닫힌 형태의 표현을 도출한다: M_4(P_{n,r}) = (r^4 / 90)(77 + 64 cos(2π/n) + 9 cos(4π/n))이며, 이는 n ≥ 3인 모든 n에 대해 유효하다.
• 두 번째 모멘트에 대해 간결한 공식을 확보하였다: M_2(P_{n,r}) = (2r^4 / 45)(8 + 6 cos(2π/n) + cos(4π/n)) + (r^4 / 18)(9 + 8 cos(2π/n) + cos(4π/n))로, 이는 분산 계산을 단순화한다.
• 첫 번째 모멘트 M_1(P_{n,r})는 n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12에 대해 닫힌 형태로 계산되었으며, n = 5, 8, 10, 12에 대한 결과는 본 연구자 지식에 비추어 새로운 것이다.
• n = 3에서 30까지의 M_1(P_{n,r})/r에 대해 고정밀도 값(75–76자리)과 m = -1에서 10까지의 M_m(P_{5,r})/r^m에 대해서도 고정밀도 값을 제공한다.
• n → ∞일 때 네 번째 모멘트는 (5/3)r^4로 수렴하며, 이는 원의 경우에 알려진 결과와 일치하여 극한 경우와의 일致성을 확인한다.
• 현수줄 거듭제곱 적분 S_2(P_{6,r})는 약 12.568534 r^3로 계산되며, 이는 결과들이 기하적 적분기하학에 적용 가능함을 보여준다.