[논문 리뷰] The Monge-Kantorovitch Problem and Monge-Ampere Equation on Wiener Space

Denis Feyel, Ali Süleyman Üstünel|ArXiv.org|2003. 06. 23.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 캐머론-마르틴 노름에 대한 유한한 워셔스타인 거리 조건 하에, 추상 위너 공간 위의 확률측도 $ \nu_1 $ 과 $ \nu_2 $ 사이에서, $ \xi: W \to H $ 인 순환적으로 단조로운 운반 맵 $ T = I_W + \xi $ 가 존재하고 유일함을 확립한다. 주요 기여는 $ \nu_2 \ll \mu $ 일 때 $ T $ 의 확률적 역함수를 구성하고, 이토-정규화를 통해 몽헤-암페르 방정식을 풀어, 기브르산وف 및 클락 표현을 이용한 강한 확률적 해를 도출하는 것이다.

ABSTRACT

We give the solution of the Monge-Kantorovitch problem on the Wiener space for the singular Wasserstein metric which is defined with respect to the distance of the underlying Cameron-Martin space. We show, under the hypothesis that this distance is finite, the existence and the uniquness of the solutions, that they are supported by the graphs of the weak derivatives of H-convex Wiener functionals. then we prove the more general situation, where the measures are not even necessarily absolutely continuous w.r.to the Wiener measure. We give sufficient conditions for the hypothesis about the Wassestein distance is finite with the help of the Girsanov theorem. Finally we give the solutions of the Monge-Ampere equation using the classical Jacobi representation and/or the Ito parametrization of the Wiener space.

연구 동기 및 목표

• 추상 위너 공간 위의 확률측도에 대해 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) $ 가 유한해지는 조건을 확립하는 것.
• 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $ 일 때, $ \xi: W \to H $ 인 순환적으로 단조로운 운반 맵 $ T = I_W + \xi $ 가 $ \nu_1 $ 에서 $ \nu_2 $ 로 매핑하는 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• $ \nu_2 \ll \mu $ 일 때, 운반 맵 $ T $ 가 확률적으로 역가능함을 보여주는 것, 즉 $ \nu_1 $-거의확실하게 $ S \circ T = I_W $ 이고 $ \nu_2 $-거의확실하게 $ T \circ S = I_W $ 를 만족하는 $ S $ 가 존재하는 것.
• 이토 미적분과 정규화 기법을 이용하여 위너 공간에서 몽헤-암페르 방정식의 해를 구성하는 것.
• 유한한 워셔스타인 거리를 갖는 위너 측도로부터의 측도 불변 회전과 분해 가능한 측도 변환의 구조를 밝혀내는 것.

제안 방법

• 측도 $ \nu_1 $ 과 $ \nu_2 $ 의 쌍대측도를 갖는 커플링 $ \beta $ 를 고려하여, 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) = \sqrt{\inf_{\beta} \int_{W \times W} |x - y|_H^2 d\beta(x,y)} $ 를 사용하는 것.
• 비용 함수 $ \int |x - y|_H^2 d\theta(x,y) $ 의 최소화를 위해 몽헤-칸토로비치 이중성 원리를 적용하는 것.
• 측도 $ \nu_1 = \mu $ 일 때, $ \phi \in \mathrm{I\!D}_{2,1} $ 인 1-볼록 함수의 그래디언트를 통해 운반 맵 $ T = I_W + \xi $ 를 구성하고, $ \xi = \nabla\phi $ 를 확보하는 것.
• 기브르산프 정리와 이토-클락 표현을 사용하여 라돈-니코다임 미분 $ \Lambda = K / (L \circ T) $ 를 지수 마르تين갈로 표현하는 것.
• 약한 수렴성과 유일한 적분 가능성 조건을 이용하여, $ S \circ T = I_W $ 가 $ \nu_1 $-거의확실하게 성립하도록 확률적 역함수 $ S $ 를 유도하는 것.
• 이토-정규화 기법을 적용하여 몽헤-암페르 방정식을 강한 이토 의미에서 해결하고, 마일리아빈 미분의 조건부 기대값으로 정의된 $ \dot{\alpha}_t $ 를 통해 해를 표현하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추상 위너 공간 위의 확률측도에 대해 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) $ 가 유한해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $ 일 때, $ \xi: W \to H $ 인 유일한 순환적으로 단조로운 운반 맵 $ T = I_W + \xi $ 가 존재하는가?
• RQ3 언제 운반 맵 $ T $ 가 확률적으로 역가능한가, 즉 $ \nu_1 $-거의확실하게 $ S \circ T = I_W $ 이고 $ \nu_2 $-거의확실하게 $ T \circ S = I_W $ 를 만족하는 $ S $ 가 존재하는가?
• RQ4 이토 미적분 기법을 사용하여 위너 공간에서 몽헤-암페르 방정식을 강한 이토 의미에서 풀 수 있는가?
• RQ5 몽헤-암페르 방정식의 해는 어떻게 이토 및 클락 표현을 통해 명시적으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 6.1 의 가정 하에, 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) $ 는 캐머론-마르틴 공간에 대해 충분히 규칙적인 $ \nu_1 $ 과 $ \nu_2 $ 를 갖는다.
• 워셔스타인 거리 $ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $ 일 때, $ \xi: W \to H $ 인 유일한 순환적으로 단조로운 운반 맵 $ T = I_W + \xi $ 가 존재하며, $ \nu_1 $ 에서 $ \nu_2 $ 로 매핑한다.
• 만약 $ \nu_2 \ll \mu $ 이면, 운반 맵 $ T $ 는 확률적으로 역가능하며, 즉 $ \nu_1 $-거의확실하게 $ S \circ T = I_W $ 이고 $ \nu_2 $-거의확실하게 $ T \circ S = I_W $ 를 만족하는 $ S $ 가 존재한다.
• 만약 $ \nu_1 = \mu $ 이면, 운반 맵 $ T $ 는 $ T = I_W + \nabla\phi $ 로 주어지며, 여기서 $ \phi \in \mathrm{I\!D}_{2,1} $ 는 1-볼록 함수이다.
• 몽헤-암페르 방정식은 강한 이토 의미에서 해를 갖는다: $ K = E[\Lambda^2] \cdot L \circ T \cdot \exp\left( -\int_0^1 \dot{\alpha}_s dT_s - \frac{1}{2} \int_0^1 |\dot{\alpha}_s|^2 ds \right) $, $ \mu $-거의확실하게, 여기서 $ \dot{\alpha}_t $ 는 마일리아빈 미분의 조건부 기대값으로 주어진다.
• $ (L_{n,t}) $ 수열은 모든 $ t \in [0,1] $ 에 대해 유일한 적분 가능하며, 이는 $ L^1(\mu) $ 에서의 약한 수렴성을 보장하고, 이는 극한 $ L_t $ 의 구성과 주요 정리의 증명을 가능하게 한다.