[논문 리뷰] The monodromy representation of Lauricella's hypergeometric function F_C

Yoshiaki Gotō|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 07.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라우리켈라의 초함수 $F_C$의 단일화 표현을 티드 힐베르트 군과 교차 형식을 이용하여 $m$개 변수에서의 모노드로미 표현을 구성한다. 특이점의 여집합의 기본군의 생성자를 특정하고, 순환 변환에 대한 명시적 행렬 표현을 유도하며, 원점 주위의 모노드로미가 고유값 $(-1)^{m-1}e^{2\pi i(c_1+\cdots+ c_m - a - b)}$와 1을 가지며, 후자의 고유공간은 일차원이면서 특정한 티드 사이클에 의해 생성됨을 보여준다.

ABSTRACT

We study the monodromy representation of the system $E_C$ of differential equations annihilating Lauricella's hypergeometric function $F_C$ of $m$ variables. Our representation space is the twisted homology group associated with an integral representation of $F_C$. We find generators of the fundamental group of the complement of the singular locus of $E_C$, and give some relations for these generators. We express the circuit transformations along these generators, by using the intersection forms defined on the twisted homology group and its dual.

연구 동기 및 목표

• 라우리켈라의 초함수 $F_C$의 $m$개 변수에서의 힐베르트 시스템 $E_C$와 관련된 모노드로미 표현을 결정하는 것.
• 특이점의 여집합의 기본군을 생성하는 기본적인 루프의 집합을 특정하는 것.
• 이 루프를 따라 발생하는 순환 변환(모노드로미 작용)을 티드 힐베르트 군 위의 교차 형식을 이용하여 표현하는 것.
• 특히 원점 주위의 모노드로미 변환의 고유공간을 특성화하는 것, 특히 고유값 $(-1)^{m-1}e^{2\pi i(c_1+\cdots+ c_m - a - b)}$에 대응하는 일차원 고유공간을 특정하는 것.
• 특정한 티드 사이클 기저에 의존하지 않는, 교차 형식 기반의 방법을 통해 모노드로미 행렬을 계산하는 것.

제안 방법

• 표현 공간은 $F_C$의 오일러 형식 적분 표현과 관련된 $m$-번째 티드 힐베르트 군으로 구성된다.
• 특이점의 여집합의 기본군의 생성자는 $m+1$개의 루프 $\rho_0, \rho_1, \dots, \rho_m$로 식별되며, $1 \leq i,j \leq m$에 대해 $\rho_i\rho_j = \rho_j\rho_i$이고, $1 \leq k \leq m$에 대해 $(\rho_0\rho_k)^2 = (\rho_k\rho_0)^2$인 관계를 만족한다.
• 이 루프를 따라 발생하는 순환 변환 $\mathcal{M}_i$는 티드 힐베르트 군과 그 쌍대군 위의 교차 형식을 이용하여 표현된다.
• $1 \leq k \leq m$에 대해 모노드로미 $\mathcal{M}_k$는 고유값 $\exp(-2\pi i c_k)$와 1을 가지며, 각각 $2^{m-1}$-차원 고유공간을 가진다.
• 모노드로미 $\mathcal{M}_0$는 고유공간을 분석한다: 고유값 $(-1)^{m-1}\exp(2\pi i(c_1+\cdots+c_m - a - b))$는 일차원 고유공간을 가지며, 이는 티드 사이클 $D_{1\cdots m}$에 의해 생성된다. 나머지 고유공간은 교차 형식에 대한 수직 여부를 기준으로 한다.
• 모노드로미 사상은 교차 수를 통해 계산되며, 이는 기저에 종속되지 않는 행렬 표현을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라우리켈라의 $F_C$의 $m$개 변수에서의 시스템 $E_C$의 특이점의 여집합의 기본군의 생성자는 무엇인가?
• RQ2 이 생성자들을 따라 발생하는 모노드로미 변환은 티드 힐베르트 군 위의 교차 형식을 통해 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 원점 주위의 모노드로미 변환 $\mathcal{M}_0$의 고유공간의 구조는 어떠한가?
• RQ4 특정한 티드 사이클 기저를 고정하지 않고도 모노드로미 표현을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 모노드로미 변환 $\mathcal{M}_0$의 정확한 고유값과 고유공간의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 특이점의 여집합의 기본군은 $m+1$개의 루프 $\rho_0, \rho_1, \dots, \rho_m$에 의해 생성되며, $1 \leq i,j \leq m$에 대해 $\rho_i\rho_j = \rho_j\rho_i$이고, $1 \leq k \leq m$에 대해 $(\rho_0\rho_k)^2 = (\rho_k\rho_0)^2$인 관계를 만족한다.
• $1 \leq k \leq m$에 대해 모노드로미 변환 $\mathcal{M}_k$는 고유값 $\exp(-2\pi i c_k)$와 $1$을 가지며, 각각 $2^{m-1}$-차원 고유공간을 가진다.
• 모노드로미 변환 $\mathcal{M}_0$는 고유값 $(-1)^{m-1}\exp(2\pi i(c_1+\cdots+c_m - a - b))$와 $1$을 가지며, 첫 번째 고유공간은 일차원이며 티드 사이클 $D_{1\cdots m}$에 의해 생성된다.
• $\mathcal{M}_0$의 고유공간 중 고유값 $1$에 대응하는 부분공간은 $\mathbb{C}D_{1\cdots m}$에 대한 교차 형식에 대한 수직 여부를 기준으로 한다.
• $\mathcal{M}_0$의 작용은 임의의 티드 사이클에 대해 $D_{1\cdots m}$과의 교차 수에 의해 완전히 결정되며, 이는 추론 5.7에 명시되어 있다.
• 모든 생성자에 대한 모노드로미 행렬은 교차 수를 통해 표현되며, 이는 기저에 종속되지 않는 모노드로미 표현 계산을 가능하게 한다.