[논문 리뷰] The Morava E-theories of finite general linear groups

S. Marsh|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반선형군 $GL_d(\mathbb{F}_q)$의 분류공간에 대한 유리수 및 정수 Morava E-이론을 일반화된 문자 이론과 $p$-진 군의 표현 이론을 사용하여 계산한다. $E^0$ 위의 자유 모듈로서 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$의 기저를 확립하며, 최대 토러스에서 온 불변 다항식과 전이에서 온 토판 클래스를 조합하여, 코homology가 이러한 성분들의 직합임을 보여주는 핵심 결과를 도출한다.

ABSTRACT

By studying the representation theory of a certain infinite $p$-group and using the generalised characters of Hopkins, Kuhn and Ravenel we find useful ways of understanding the rational Morava $E$-theory of the classifying spaces of general linear groups over finite fields. Making use of the well understood theory of formal group laws we establish more subtle results integrally, building on relevant work of Tanabe. In particular, we study in detail the cases where the group has dimension less than or equal to the prime $p$ at which the $E$-theory is localised.

연구 동기 및 목표

• 유한 체 위의 유한 일반선형군에 대한 분류공간 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$의 Morava $E$-이론을 계산하는 것.
• 일반화된 문자 이론과 형식적 군 법칙을 사용하여 $E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q))$의 유리수 및 정수적 구조를 이해하는 것.
• 전이 사상에서 유도된 불변 다항식과 토판 클래스를 바탕으로 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$의 기저를 결정하는 것.
• Hovey-Strickland 쌍대성과 Hopkins-Kuhn-Ravenel 문자 이론을 통해 Tanabe의 $K(n)$-이론 결과를 $E$-이론 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• Hopkins, Kuhn, 그리고 Ravenel의 일반화된 문자 이론을 활용하여, 유한군 $G$에 대해 $E^0(BG)$의 계산을 $G$ 내의 $p$-원소들로 이루어진 교환하는 $n$-중의 집합으로 환원한다.
• pro-$p$ 군 $\mathbb{Z}_p^n$의 표현 이론을 적용하여 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$의 $K$-이론을 분석한다.
• 제약 사상 $\beta: E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q)) \to E^0(BT_d)$를 사용하고, 그 핵을 $0 \leq i < N$인 $tc_p^i$에 의해 생성되는 자유 모듈로 식별한다.
• 이중성에 기반한 $E^*$-이론의 성질을 이용하여, $E^0(BT_d)^{\Sigma_d}$의 기저 $B$를 $E^0(BGL_d(\mathbb{F}_q))$로 자연스럽게 올리는 방법을 적용한다.
• $E^0[[x]]/\langle p\rangle([p^v](x))$의 링 $D$를 구성하여 순환 $p$-부분군의 코homology를 모델링하고, 전이와 관련지어 분석한다.
• 갈루아 작용과 코인variant 구조를 활용하여 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$의 $K(n)^*$-이론과 $BGL_d(\overline{\mathbb{F}}_l)$의 이론을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 문자 이론을 사용하여 $BGL_d(\mathbb{F}_q)$의 유리수 Morava $E$-이론을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 $|\mathbb{F}_q^\times|$에 $p$가 나누어 떨어질 때, $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$의 정수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 제약 사상 $\beta: E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q)) \to E^0(BT_p)$는 어떻게 분해되며, 그 핵의 구조는 어떠한가?
• RQ4 전이 클래스 $t$와 올리버 클래스 $c_p$는 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$의 $E^0$-모듈러 구조를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $E$-이론이 Hovey-Strickland 쌍대성을 통해 $K(n)$-이론으로부터 복원될 수 있는가?

주요 결과

• BGL_d(\mathbb{F}_q)$의 유리수 Morava $E$-이론은 일반화된 문자를 통해 계산되며, 이는 $\mathbb{Z}_p^n$의 표현 이론으로 문제를 환원한다.
• d = p일 때, $E^0$-모듈러 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$는 $\beta$의 핵과 $E^0(BT_p)$의 불변 부분공간의 직합으로 분해된다.
• $\beta$의 핵은 $E^0\{tc_p^i \mid 0 \leq i < N\}$와 동형이며, 여기서 $t$는 전이 클래스이고 $c_p$는 $l$-올리버 클래스이다.
• $E^0(BT_p)^{\Sigma_p}$의 기저 $\tilde{B}$는 자연스러운 분할을 통해 $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$로 올라가며, 전체 기저의 일부를 이룬다.
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$의 전체 기저는 $\tilde{B} \cup \{tc_p^i \mid 0 \leq i < N\}$로 주어지며, 이는 자유성과 명시적인 구조를 증명한다.
• $E^0(BGL_p(\mathbb{F}_q))$의 코homology는 $E^0$ 위의 자유 모듈러이며, 짝수 차수에 위치하며, $E^*$-이론의 알려진 쌍대성 결과와 일치한다.