[논문 리뷰] The Morava E-theory of Eilenberg-Mac Lane spaces

Eric Peterson|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 27.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Eilenberg-Mac Lane 공간 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$의 완비 Morava $E$-호모로지에 대해 코homological 및 형식적 스킴 기반의 기술을 제공하며, 이가 $\mathbb{C}P^\infty_E$의 형식적 군과 관련된 $p$-나누어지는 군의 $q$-번째 외적 거듭제곱과 동형임을 증명한다. 이 결과는 변형 이론적 이중성과 코알제브라적 형식적 스킴을 통해 Ravenel-Wilson의 $K$-호모로지 계산을 $E$-이론으로 확장한다.

ABSTRACT

We deform the Ravenel-Wilson computation of the Morava K-homology of Eilenberg-Mac Lane spaces to obtain a similar description of their completed Morava E-homology. This yields both a cohomological description and an interpretation on the level of formal schemes: the scheme associated to the E-cohomology of the space K(Z/p^infty, q) is the qth exterior power of the p-divisible group associated to the versal infinitesimally deformed formal group over Lubin-Tate space.

연구 동기 및 목표

• 장기적으로 추측되어 온 Eilenberg-Mac Lane 공간의 Morava $E$-호모로지 기술에 대한 엄밀한 증명을 제공하며, $K$-호모로지에 대한 Ravenel-Wilson 결과를 $E$-이론으로 확장한다.
• 형식적 스킴과 이중성에 의한 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$의 코homological 해석을 수립한다.
• 모든 $E$-코호모로지 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$가 $\mathbb{C}P^\infty_E$의 $p$-나누어지는 군의 $q$-번째 외적 거듭제곱과 대응됨을 보여준다.
• 형식적 스킴 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$의 존재성과 코알제브라의 좋은 기저 조건을 통해 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$와의 동형을 검증한다.

제안 방법

• 유한 부분복합체 위의 코alescence를 통해 $X = K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$에 대해 형식적 스킴 $X_E = \operatorname{Spf}(E^*X)$를 구성한다.
• 형식적 스킴의 Cartier 이중성과 $E_*$-호모로지 간의 이중성을 이용하여 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$를 $\underline{\operatorname{Hom}}(K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E, \hat{\mathbb{G}}_m)$과 연결한다.
• 코알제브라로서 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$가 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$와 동형임을 보인다.
• 코알제브라 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$와 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$가 '좋은 기저'를 지닌다는 것을 확립하여, 형식적 스킴와의 이중성을 보장한다.
• Strickland의 코일리미트 교환 공식을 적용하여 $\operatorname{sch}(\operatorname{colim} U_i) = \operatorname{colim} \operatorname{sch}(U_i)$를 증명함으로써 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$의 존재성을 입증한다.
• 결론적으로 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q} \to K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$의 사상이 형식적 스킴 간의 동형임을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 Morava $E$-호모로지 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$는 $\mathbb{C}P^\infty_E$의 $p$-나누어지는 군의 $q$-번째 외적 거듭제곱과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 $E$-코호모로지 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$는 코알제브라와의 이중성에 의해 형식적 스킴로 기술될 수 있는가?
• RQ3 $B\mathbb{Z}/p^\infty_E$의 $p$-나누어지는 군의 $q$-중 외적 거듭제곱은 형식적 스킴로서 존재하며, $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$의 $E$-코호모로지와 대응하는가?
• RQ4 코알제브라적 구조 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$가 잘 정의된 형식적 스킴로 대응하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$와 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 사이의 동형은 형식적 스킴 간의 동형으로 올라갈 수 있는가?

주요 결과

• $E$-코호모로지 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$는 $\mathbb{C}P^\infty_E$와 관련된 $p$-나누어지는 군의 $q$-번째 외적 거듭제곱과 동형이며, 즉 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E \cong (B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$이다.
• 코알제브라 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$는 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$와 동형이며, 이는 외적 거듭제곱 구조와의 이중성을 확립한다.
• 형식적 스킴 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$는 존재하며, 관련된 코알제브라의 좋은 기저 성질을 통해 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$와 동형임을 입증한다.
• 호모로지 코알제브라 간의 동형은 그들의 Cartier 이중체로 이어지며, 이는 스킴 이론적 식별을 확인한다.
• 코알제브라 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$의 코일리미트는 관련된 형식적 스킴의 코일리미트와 대응하며, 이는 구성의 타당성을 검증한다.
• 결과는 Strickland의 부록에서 언급된 바와 같이, $E$-호모로지가 $K$-호모로지 결과와 변형 이론적 이중성을 통해 대응되어야 한다는 오랫동안의 기대를 확인한다.