[논문 리뷰] The MSO+U Theory of (N,<) Is Undecidable

Mikołaj Bojańczyk, Paweł Parys외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 단일 이차 순서 논리(MSO)에 비유한성 양상자(U)를 추가한 논리 MSO+U가 (N,<) 구조에서 결정불가능함을 증명한다. 이는 자연수의 일반적인 순서 구조에서의 이론을 의미한다. 이 결과는 기존에 비유한 트리와 집합론적 공리를 필요로 했던 결과들을 개선하여, 무한 문자열에서의 결정불가능성을 입증함으로써 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider the logic MSO+U, which is monadic second-order logic extended with the unbounding quantifier. The unbounding quantifier is used to say that a property of finite sets holds for sets of arbitrarily large size. We prove that the logic is undecidable on infinite words, i.e. the MSO+U theory of (N,<) is undecidable. This settles an open problem about the logic, and improves a previous undecidability result, which used infinite trees and additional axioms from set theory.

연구 동기 및 목표

• MSO+U 논리가 (N,<) 구조에서 결정가능한가 여부를 해결하기 위해.
• 무한 문자열에 대한 MSO+U 이론의 결정불가능성을 입증하기 위해, 즉 (N,<) 구조에서의 이론에 대해.
• 이전 결과들보다 개선하기 위해, 비유한 트리와 추가적인 집합론적 공리들을 필요로 하지 않는 결과를 도출하기 위해.

제안 방법

• 단일 이차 순서 논리(MSO)에 비유한성 양상자 U를 추가하며, 이는 어떤 성질이 임의로 큰 유한 크기의 집합에서 성립함을 주장한다.
• (N,<)의 선형 순서에서 MSO+U의 표현력 분석을 통해, 특히 무한 문자열에서의 정의 가능성과 표현력에 초점을 맞춘다.
• 모형 이론적 기법을 사용하여, 정의 가능한 집합과 그 비유한성 양상자에 대한 닫힘 성질을 분석한다.
• MSO+U 내에서 (N,<)에서 결정불가능 문제를 시뮬레이션할 수 있는 축소 또는 해석을 구성하며, 비유한성 양상자의 표현력 강도를 활용한다.
• 비유한성 양상자가 (N,<) 구조에서 결정불가능 성질을 인코딩할 수 있음을 보여주며, 전체 이론의 결정불가능성을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MSO+U의 (N,<) 이론은 결정가능한가 아니면 결정불가능한가?
• RQ2 비유한 트리나 집합론적 공리에 의존하지 않고도, MSO+U의 결정불가능성을 무한 문자열에서 입증할 수 있는가?
• RQ3 비유한성 양상자 U의 표현력은 (N,<) 맥락에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• MSO+U의 (N,<) 이론은 결정불가능하며, 논리학과 오토마타 이론 분야에서 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• 결정불가능성 결과는 무한 문자열, 특히 (N,<) 구조에서 성립하며, 추가적인 집합론적 공리가 필요로 하지 않는다.
• 이전 결과들을 개선하기 위해 비유한 트리를 사용하지 않고, 선형 순서 (N,<) 내에서 직접적으로 작업함으로써 성과를 냈다.
• 비유한성 양상자는 MSO의 표현력을 크게 향상시키며, (N,<) 맥락에서 결정불가능 성질을 인코딩할 수 있게 한다.
• 결과적으로 MSO에 비유한성 양상자를 추가하면, 심지어 간단한 구조 (N,<)에서도 더 이상 결정불가능한 논리가 된다는 것이 입증되었다.