[논문 리뷰] The Multifractal Time and Irreversibility in Dynamic Systems

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|2000. 02. 01.

advanced mathematical theories인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시간이 국소적 라그랑주 밀도에 따라 변하는 비정수 프랙탈 차원 $d_t({\bf r}(t),t)$를 갖는 다중프랙탈 집합으로 모델링될 경우, 고전적 동역계가 본질적으로 비가역성이 된다고 제안한다. 이러한 다중프랙탈 집합 위에서 분수계 도함수로 일반화된 시간 도함수를 적용함으로써 리우빌 및 하미لت로니안 방정식은 내재된 비가역성을 가지게 되며, 평형 시스템조차도 비제로의 엔트로피 생성을 보이게 된다. 이는 비가역성이 근본적으로 시간의 기하학적 성질에서 기인하며, 근사나 추가된 소산 항이 아닌, 시간 자체의 기하학적 성질에서 기인함을 보여준다.

ABSTRACT

The irreversibility of the equations of classical dynamics (the Hamilton equations and the Liouville equation) in the space with multifractal time is demonstrated. The time is given on multifractal sets with fractional dimensions. The last depends on densities of Lagrangians in a given time moment and in a given point of space. After transition to sets of time points with the integer dimension the obtained equations transfer in the known equations of classical dynamics. Production of an entropy is not equally to zero in space with multifractal time, i.e. the classical systems in this space are non-closed.

연구 동기 및 목표

• 고전역학에서의 비가역성이 외부 소산이나 엔트로피 함수에 기인하지 않고, 시간의 기하학적 성질에서 기인할 수 있는지 탐구하는 것.
• 표준 시간(위상차원 1)을 비정수 프랙탈 차원 $d_t({\bf r}(t),t)$를 갖는 다중프랙탈 시간 집합으로 대체했을 때의 결과를 탐색하는 것.
• 다중프랙탈 시간에서 표준 시간으로의 전이가 기존의 가역적 고전역학 방정식을 복원함을 보여주는 것.
• 다중프랙탈 시간에서조차도 평형 시스템이 비제로의 엔트로피 생성을 보임을 보여, 비폐쇄적 동역학임을 시사하는 것.
• 로컬 에너지 밀도와의 물리적 연결 고리를 확립하기 위해 $\varepsilon = d_t - 1$ 과 라그랑주 밀도 사이의 관계를 설정함으로써, 저에너지 밀도에서의 물리법칙과의 일致성을 확보하는 것.

제안 방법

• 측도를 지닌 공간 $M_t$ 의 다중프랙탈 부분집합 $s_t$ 로 표준 시간을 대체하며, 각각의 국소적 프랙탈 차원 $d_t({\bf r}(t),t)$ 를 가짐.
• 비정수 $d_t$ 를 갖는 시간 점에 적합한 리만-리우빌 미분학에 기반한 일반화된 분수계 도함수 $D_{+,t}^{d_t}$ 와 $D_{-,t}^{d_t}$ 를 도입함.
• 이러한 일반화된 도함수를 리우빌 및 하미льт로니안 방정식에 적용하여, 다중프랙탈 시간 집합 위에서 비가역적 형태로 변형함.
• 엔트로피 생성을 $D_{+,t}^{d_t}S = \int D_{+,t}^{d_t}[\rho \ln \rho] \, dX$ 로 정의함. 여기서 $d_t = 1 + \varepsilon$ 이고 $|\varepsilon| \ll 1$ 이다.
• 라그랑주 밀도를 통해 $d_t({\bf r}(t),t) = 1 + \sum_i \beta_i L_i({\bf r}(t),t)$ 를 통해 $d_t$ 와의 연결 고리를 설정함. $\beta_i$ 는 일반상대성 이론과 양자역학의 척도를 일치시키기 위해 선택됨.
• 표준 가역적 고전역학으로의 수렴을 위해 $d_t \to 1$ 의 극한을 분석함으로써, 기존 물리학과의 일致성을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전역학에서의 비가역성이 외부 소산이나 엔트로피 함수가 아닌, 시간의 기하학적 성질 자체에서 기인할 수 있는가?
• RQ2 시간이 비정수 프랙탈 차원을 갖는 다중프랙탈 집합으로 모델링될 경우, 리우빌 및 하미لت로니안 방정식은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 다중프랙탈 시간에서 평형 시스템의 엔트로피 생성은 사라지는가, 아니면 시간 기하학 자체가 비제로의 엔트로피 흐름을 유도하는가?
• RQ4 프랙탈 차원에서의 편차 $\varepsilon = d_t - 1$ 은 물리적 장과 에너지 밀도와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 특히 지구의 중력장이나 원자 척도와 같은 약한 필드 영역에서, 다중프랙탈 시간 모델은 실험 관측과 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• 시간이 $d_t \neq 1$ 인 다중프랙탈 집합 위에 정의될 경우, 리우빌 및 하미لت로니안 방정식은 조건부로 비가역성이 된다. 이는 보존력 시스템에도 적용됨.
• 다중프랙탈 시간 위에서 평형 시스템에서도 엔트로피 생성 $D_{+,t}^{d_t}S \neq 0$ 가 발생함을 보여, 이러한 시스템은 진정으로 정적인 상태가 아니며 시간 기하학으로 인해 비폐쇄적임을 시사함.
• 다중프랙탈 차원이 $d_t = 1 + \varepsilon$ 이고 $|\varepsilon| \ll 1 일 때, 엔트로피 생성은 약간의 근사식 $\frac{\varepsilon S}{t^{d_t}} \pm \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon S) + \frac{\partial S}{\partial t} \neq 0$ 으로 표현되며, 비제로이자 잠재적으로 양의 엔트로피 흐름임을 보여줌.
• 프랙탈 차원 $d_t({\bf r}(t),t)$ 는 $d_t = 1 + \sum_i \beta_i L_i$ 를 통해 국소적 라그랑주 밀도와 연결되며, $\beta_i$ 는 일반상대성 이론($\beta = 2/c^2$)과 양자역학($\beta_e \sim (2mc^2)^{-1}$)의 척도를 일치시키기 위해 선택됨.
• 저에너지 밀도 조건—예를 들어 지구 표면의 중력장이나 원자 척도—에서는 편차 $\varepsilon \sim 10^{-8}$ 로 매우 작아, 이 모델이 기존 물리학과 실험적으로 일치함을 보장함.
• 극한 $d_t \to 1$ 에서 일반화된 방정식은 기존의 가역적 고전역학 방정식으로 수렴함을 보여, 기존 이론과의 일치성을 확인함.