[논문 리뷰] The Mutually Unbiased Bases Revisited

M. Combescure|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 슈윙거가 도입한 기본 유니터리 행렬을 활용하여 양자 정보 이론에서 상호 무관 기저(MUBs)의 구성 재검토한다. 이는 d차 단위근의 베르드모인 행렬을 기반으로 하며, 임의의 차원 d에서 3개의 MUBs 존재를 증명하고, d가 짝수 또는 홀수일 때 3개 초과의 MUBs 존재 조건을 제시하며, 소수 d일 경우 기존에 알려진 d+1개의 MUBs 결과를 재확인한다. 또한 MUB의 구조에서 가우스 합 항등식을 유도한다.

ABSTRACT

The study of Mutually Unbiased Bases continues to be developed vigorously, and presents several challenges in the Quantum Information Theory. Two orthonormal bases in $\mathbb C^d, B {and} B'$ are said mutually unbiased if $\forall b\in B, b'\in B'$ the scalar product $b\cdot b'$ has modulus $d^{-1/2}$. In particular this property has been introduced in order to allow an optimization of the measurement-driven quantum evolution process of any state $ψ\in \mathbb C^d$ when measured in the mutually unbiased bases $B\_{j} {of} \mathbb C^d$. At present it is an open problem to find the maximal umber of mutually Unbiased Bases when $d$ is not a power of a prime number. oindent In this article, we revisit the problem of finding Mutually Unbiased Bases (MUB's) in any dimension $d$. The method is very elementary, using the simple unitary matrices introduced by Schwinger in 1960, together with their diagonalizations. The Vandermonde matrix based on the $d$-th roots of unity plays a major role. This allows us to show the existence of a set of 3 MUB's in any dimension, to give conditions for existence of more than 3 MUB's for $d$ even or odd number, and to recover the known result of existence of $d+1$ MUB's for $d$ a prime number. Furthermore the construction of these MUB's is very explicit. As a by-product, we recover results about Gauss Sums, known in number theory, but which have apparently not been previously derived from MUB properties.

연구 동기 및 목표

• 고전적 수론을 사용하지 않고도 임의의 차원 d에서 상호 무관 기저(MUBs)에 대한 간단하고 구성적인 접근을 제공한다.
• d가 소수이든 합성수이든 간에, 어떤 차원 d에서도 최소 3개의 MUBs 존재를 확립한다.
• 특히 짝수 및 홀수 d일 경우, 3개 초과의 MUBs 존재 조건을 유도한다.
• 기존에 알려진 가우스 합 항등식을 MUB 구성에서 직접 유도함으로써 양자 정보와 수론을 연결한다.
• 슈윙거 행렬의 대각화를 이용한 명시적이고 알고리즘적인 MUBs 구성 방법을 제시한다.

제안 방법

• d차 단위근을 대각성분으로 가지는 슈윙거의 유니터리 행렬 U와 순환 이동 행렬 V를 사용하여, k = 0, ..., d-1에 대해 V_k = V U^k를 정의한다.
• q = exp(2πi/d)일 때, (P_0)_{j,k} = d^{-1/2} q^{jk}의 성분을 가지는 베르드모인 행렬 P_0를 사용하며, 이는 V에 의한 코너지션을 통해 U를 대각화한다.
• 행렬 V_k의 대각화를 적용하여 상호 무관인 유니터리 행렬 P_k를 생성한다.
• d = 4m이면서 m이 홀수일 경우, 4×4 및 m×m MUB 구조의 텐서곱을 통해 MUBs를 구성한다.
• 만약 V_k = P_k D_k P_k^*이면, 모든 P_k는 무관 행렬이며, j ≠ k일 때 P_j^* P_k도 무관 행렬임을 이용한다.
• MUB의 유니터리성과 편향 조건에서 다음과 같은 가우스 합 항등식을 유도한다: |∑_{j=0}^{d-1} q^{k j(j+1)/2}| = √d (d가 홀수이고 gcd(k,d)=1일 때)

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 이론이나 가우스 합을 사용하지 않고도 MUBs에 대한 단순하고 기본적인 구성 방법을 얻을 수 있는가?
• RQ2 어떤 차원 d에서도 보장되는 MUBs의 최소 개수는 얼마인가?
• RQ3 d가 짝수, 홀수, 소수, 합성수일 경우, 3개 초과의 MUBs를 구성할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 기존에 알려진 수론적 항등식인 가우스 합을 MUB 성질에서 직접 유도할 수 있는가?
• RQ5 d=6, 12, 20과 같은 소수의 거듭제곱이 아닌 차원에서 명시적인 MUBs 구성이 가능한가?

주요 결과

• 논문은 소수 여부에 관계없이 어떤 차원 d에서도 최소 3개의 상호 무관 기저가 존재함을 증명한다.
• d가 소수일 경우, 구성은 기존에 알려진 최대 d+1개의 MUBs를 재확인한다.
• d=6일 경우, 방법은 3개의 MUBs를 구성하며, N(6)=3이 최대라는 추측을 지지한다.
• d=12일 경우, 4×4 및 3×3 MUB 구조의 텐서곱을 사용하여 4개의 MUBs를 도출한다.
• d=20일 경우, 4×4 및 5×5 MUB 구성 방식을 텐서곱으로 조합하여 5개의 MUBs를 생성한다.
• 논문은 MUB의 유니터리성과 편향 조건에서 직접적으로 |∑_{j=0}^{d-1} q^{k j(j+1)/2}| = √d (d가 홀수이고 gcd(k,d)=1일 때)라는 가우스 합 항등식을 도출한다.