[논문 리뷰] The Need for Structure in Quantum Speedups

Scott Aaronson, Andris Ambainis|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 출력 수가 충분히 많은 대칭 문제, 예를 들어 충돌 문제와 원소 유일성 문제와 같은 문제들에 대해 양자 쿼리 복잡도가 고전적 랜덤화 쿼리 복잡도의 7제곱근 이상임을 증명하며, Watrous(2002)가 제기한 추측을 해결한다. 또한 모든 유계 저차 다항식은 높은 影響력을 지닌 변수를 가진다라는 추측을 제기하며, 이는 모든 T-쿼리 양자 알고리즘이 대부분의 입력에서 T^O(1) 쿼리의 고전적 알고리즘으로 시뮬레이션 가능하다는 것을 의미하며, 구조가 없는 경우 초다항적 양자 스피드업의 가능성을 제한한다.

ABSTRACT

Is there a general theorem that tells us when we can hope for exponential speedups from quantum algorithms, and when we cannot? In this paper, we make two advances toward such a theorem, in the black-box model where most quantum algorithms operate. First, we show that for any problem that is invariant under permuting inputs and outputs (like the collision or the element distinctness problems), the quantum query complexity is at least the 7th root of the classical randomized query complexity. (An earlier version of this paper gave the 9th root.) This resolves a conjecture of Watrous from 2002. Second, inspired by recent work of O'Donnell et al. (2005) and Dinur et al. (2006), we conjecture that every bounded low-degree polynomial has a "highly influential" variable. Assuming this conjecture, we show that every T-query quantum algorithm can be simulated on most inputs by a poly(T)-query classical algorithm, and that one essentially cannot hope to prove P!=BQP relative to a random oracle.

연구 동기 및 목표

• 양자 알고리즘이 고전적 알고리즘보다 초기적 스피드업을 달성할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 특히 블랙박스 쿼리 모델에서 구조의 역할을 형식화하는 것.
• 출력 수가 많은 대칭 문제에 대해 양자 쿼리 복잡도가 고전적 랜덤화 쿼리 복잡도의 7제곱근 이상임을 증명하는 추측을 해결하는 것.
• 다항식의 영향력과 고전적 양자 알고리즘 시뮬레이션 간의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 약속 조건이나 입력 대칭성에 대한 구조적 제약 없이 초다항적 양자 스피드업이 가능한지 조사하는 것.

제안 방법

• 블랙박스 모델에서 양자 쿼리 복잡도를 분석하기 위해 다항식 방법과 적대자 방법을 사용한다.
• 대칭 문제에 대한 양자 쿼리 복잡도의 하한을 유도하기 위해 하이브리드 방법의 수정된 버전을 적용한다.
• 다항식의 영향력에 대한 추측을 가정하여, 유계 저차 다항식 내에서 '매우 영향력 있는' 변수를 식별하는 새로운 기법을 도입한다.
• 고전적으로 양자 알고리즘을 시뮬레이션하는 문제를, 수용 확률을 작은 오차 내에서 유지하는 데 필요한 작은 영향력 있는 입력 비트 집합을 찾는 것으로 환원한다.
• P = P^#P이면, 양자 알고리즘은 비적응형 고전적 쿼리로 P 내에서 시뮬레이션 가능하다는 것을 보여주기 위해 카운팅 계층 구조의 추론을 활용한다.
• O’Donnell 등과 Dinur 등의 부울 함수에서의 영향력에 관한 결과를 바탕으로 다항식의 구조에 대한 추측을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 하한을 증명할 수 있을까? 즉, 구조적 문제와 비구조적 문제를 분리하는 양자 쿼리 복잡도의 하한.
• RQ2 출력 수가 많은 대칭 문제에 대해 7제곱근 하한이 날카로운지, 더 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 모든 유계 저차 다항식은 영향력이 높은 변수를 가진다라는 추측은 참인가?
• RQ4 모든 T-쿼리 양자 알고리즘은 대부분의 입력에서 T^O(1) 쿼리의 고전적 알고리즘으로 시뮬레이션 가능한가?
• RQ5 영향력 추측을 가정할 때, 임의의 오ракulum에 대해 P ≠ BQP를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 출력 수가 충분히 많은 대칭 문제에 대해, 양자 쿼리 복잡도는 고전적 랜덤화 쿼리 복잡도의 7제곱근 이상이며, 이는 Watrous(2002)의 추측을 해결한다.
• 하이브리드 방법의 정교한 분석과 입력 대칭성을 활용하여, 이전의 9제곱근 하한을 7제곱근 하한으로 향상시켰다.
• 다항식의 영향력에 대한 추측을 가정할 경우, 모든 T-쿼리 양자 알고리즘은 대부분의 입력에서 T^O(1) 쿼리의 고전적 알고리즘으로 시뮬레이션 가능하다.
• 동일한 추측을 가정할 경우, 임의의 오라클에 대해 P ≠ BQP를 증명하는 것은 어려울 것이며, 양자 스피드업은 고전적으로 시뮬레이션 가능할 것이기 때문이다.
• 고전적 시뮬레이션은 비적응형이며, 입력에 대해 높은 확률로 성립하므로, 구조적 제약 없이 초다항적 양자 스피드업은 거의 불가능하다는 것을 시사한다.
• 결과는 양자 스피드업이 주로 주기성 또는 숨겨진 부분군 구조와 같은 전역 대칭성 또는 규칙성을 가진 문제에 국한되어 있음을 시사한다.