[논문 리뷰] The Neumann problem of Hessian quotient equations

Chuanqiang Chen, Dekai Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 22.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 엄격하게 볼록하고 $C^4$인 영역에서 헤시안 비율 방정식 $\sigma_k(D^2u)/\sigma_l(D^2u) = f(x)$에 대한 뉴먼 문제에 대해 전역 $C^2$ 추정을 수립하고 $k$-적합한 해의 존재성을 증명한다. $\varepsilon$-정규화와 연속성 방법을 이용한 변형 기법을 통해, 상수를 제외하고 유일한 $C^{3,\alpha}$ 해를 얻었으며, 이는 이전의 $k$-헤시안 및 몽제-암페르 방정식 결과를 더 일반적인 헤시안 비율 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain some important inequalities of Hessian quotient operators, and global $C^2$ estimates of the Neumann problem of Hessian quotient equations. By the method of continuity, we establish the existence theorem of $k$-admissible solutions of the Neumann problem of Hessian quotient equations.

연구 동기 및 목표

• 뉴먼 문제의 존재 이론을 $k$-헤시안 및 몽제-암페르 방정식에서 더 일반적인 헤시안 비율 방정식으로 확장하기 위해.
• 엄격히 볼록 도메인에서 헤시안 비율 방정식의 뉴먼 문제에 대해 전역 $C^2$ 사전 추정을 수립하기 위해.
• 트루디셔의 추측, 즉 엄격히 볼록 도메인에서 $k$-헤시안 방정식의 뉴먼 문제의 가용성 문제를 헤시안 비율 방정식으로 일반화하여 해결하기 위해.
• 정규화 및 극한 접근을 통해 고전 뉴먼 문제에 대해 유일한 상수를 제외한 $k$-적합한 해의 존재성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 영역의 $\varepsilon$-의존 경계 조건 $(u^\varepsilon)_\nu = -\varepsilon u^\varepsilon + \varphi(x)$를 갖는 정규화된 뉴먼 문제를 도입하여, 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에서 균일 타원성과 해의 존재성을 확보한다.
• 최대원리 기법과 도메인의 곡률 조건을 이용해 정규화된 문제에 대해 전역 $C^0$, $C^1$, $C^2$ 사전 추정을 수립한다.
• 헤시안 비율 연산자의 볼록성에 기반해 연속성 방법을 적용하여 각 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $C^{3,\alpha}$ 해의 존재성을 증명한다.
• 균일한 $C^2$ 유계성과 아르ツ엘라-아스coli 유형 컴팩턴스를 이용해 $\varepsilon \to 0$ 일 때 극한을 취하여 고전 뉴먼 문제의 해를 얻는다.
• 최대원리와 호프 보조정리를 이용해 극한 해에 대해 상수를 제외한 유일성을 확보한다.
• 샤우더 이론과 정규성 전파를 활용해 $C^2$ 해를 $C^{3,\alpha}$ 정규성으로 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤시안 비율 방정식의 뉴먼 문제는 엄격히 볼록 도메인에서 해결 가능할 수 있는가? 이는 기존의 $k$-헤시안 및 몽제-암페르 방정식 결과를 확장하는가?
• RQ2 헤시안 비율 방정식의 뉴먼 문제에 대해 $k$-적합한 해의 존재성을 보장하기 위해 필요한 충분한 사전 추정은 무엇인가?
• RQ3 가장자리 상수로 인해 균일 유계성이 없기 때문에, 완전 비선형 헤시안 비율 방정식의 뉴먼 문제에 대해 연속성 방법을 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 도메인의 엄격한 볼록성이 전역 2차 도함수 추정을 경계의 법선 도함수로 줄이는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\varepsilon$-정규화를 이용한 변형 기법이 헤시안 비율 방정식의 고전 뉴먼 문제에서의 비유일성과 컴팩턴스 부족 문제를 극복하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 전역 $C^2$ 사전 추정이 $C^4$ 엄격한 $(k-1)$-볼록 도메인에서 헤시안 비율 방정식의 뉴먼 문제에 대해 수립되었다.
• 적절한 정규성 및 양성 조건 하에, 뉴먼 문제 $\sigma_k(D^2u)/\sigma_l(D^2u) = f(x)$, $u_\nu = -u + \varphi(x)$ on $\partial\Omega$ 에 대해 $C^{3,\alpha}(\overline{\Omega})$ 에서의 고유한 $k$-적합한 해가 존재함을 증명하였다.
• 고전 뉴먼 문제 $u_\nu = c + \varphi(x)$ 에 대해서는 상수를 제외한 유일한 해가 존재하며, 이는 $\varepsilon$-정규화 문제의 극한을 통해 얻어진다.
• $C^2$ 유계성은 $\varepsilon$ 와 무관하며, $\varepsilon \to 0$ 일 때 $u^\varepsilon$ 가 해 $v$ 로 균일 수렴함을 증명하였고, $-\varepsilon u^\varepsilon \to c$ 임을 보였다.
• 편미분 방정식에 샤우더 추정을 적용함으로써 해는 $C^{3,\alpha}$ 정규성을 만족한다.
• 두 해의 차에 대해 최대원리와 호프 보조정리를 적용함으로써 상수를 제외한 유일성이 도출된다.