[논문 리뷰] The New Existence and Uniqueness Results for Complex Nonlinear Fractional Differential Equation

Müfit Şan, Kamal N. Soltanov|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 15.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 일반화된 리만-리오빌 분수도함수를 사용하여 단위 원판 내에서 복소비선형 분수미분방정식(FDEs)에 대한 새로운 존재성 및 유일성 정리를 수립한다. 슈바르츠 보조정리와 해석적 계속성을 적용하여, 카푸토 또는 리만-리오빌 도함수를 갖는 초기값문제(IVPs)가 비선형 항에 대한 약한 해석성 및 성장 조건 하에서 $[0,R]$에서 연속이고 $(0,R)$에서 리만 해석적인 국소해를 적어도 하나 가짐을 증명한다. 여기서 $R \leq 1$이다.

ABSTRACT

In this article, we obtain existence and uniqueness results to some problems involving complex nonlinear fractional differential equations (FDEs) in the closed unit disc of C. By help of these results, we prove that some IVPs for some fractional differential equations with Caputo or Riemann-Liouville derivative admit at least one local (or unique) solution continuous on a closed interval $[0,R]$ and real analytic on $(0,R),$ where $0

연구 동기 및 목표

• 닫힌 단위 원판 $\mathbb{U}$ 내에서 복소비선형 분수미분방정식(FDEs)에 대한 존재성 및 유일성 결과를 수립하는 것.
• 해석함수 이론을 활용하여 실수 분수초기값문제(IVPs)의 고전적 존재정리를 복소수 영역으로 확장하는 것.
• $R \leq 1$일 때, 적절한 성장 및 해석성 조건 하에서 해가 $(0,R)$에서 리만 해석적이고 $[0,R]$에서 연속임을 보이는 것.
• 이전의 실수 변수 방법보다 더 강력하고 일반적인 결과를 도출할 수 있음을 보여주는 것.
• 실수 부분 추출을 통해 복소 FDE 해가 실수 분수초기값문제에 어떻게 연결되는지 밝혀내어 실수 해의 해석성과 유일성을 보장하는 것.

제안 방법

• 단위 원판 $\mathbb{U}$에서 정의된 $0 < a < 1$에 대해 리만-리오빌 분수도함수의 복소수 일반화를 사용한다.
• 비선형 항 $f(z,t)$에 조건 (I)과 (II)를 도입한다: $\mathbb{U} \times \mathbb{C}$에서 $z^a f(z,t)$의 해석성과 초기 조건 $z^a f(z,b)|_{z=0} = b / \Gamma(1-a)$.
• 리만-리오빌 도함수의 경우, 리프시츠 유형 조건 $|f(z,\eta) - f(z,\nu)| < \kappa |z|^{-a} |\eta - \nu|$ 하에서 슈바르츠 보조정리를 적용하여 유일성을 증명한다. 여기서 $\kappa < 1 / \Gamma(2-a)$이다.
• 실수 FDE의 우변을 복소수로 확장하여 복소 FDE를 정의함으로써, 복소해의 실수부가 원래의 실수 IVP를 만족하도록 보장한다.
• 성장 제약 조건 $|z^a f(z,t)| \leq c|t-b|^{n_0} + |h(z)|$ 하에서, $\overline{\mathbb{U}}_R$에서 해석함수의 바나흐 공간에서 고정점 원리를 통해 존재성을 확립한다.
• 카푸토 도함수와 리만-리오빌 도함수 사이의 관계인 $^C D^a u(x) = D^a (u(x) - u(0))$를 활용하여 카푸토 유형 문제로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리오빌 유형 분수도함수를 갖는 복소비선형 FDE가 단위 원판 $\mathbb{U}$에서 해석적이며 $\overline{\mathbb{U}}$에서 연속인 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 해석적 계속성과 슈바르츠 보조정리를 통한 복소변수 접근법이 이전의 실수변수 방법보다 더 강력하고 일반적인 존재성 및 유일성 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ3 복소 FDE 해의 실수부가 리만-리오빌 또는 카푸토 도함수를 갖는 대응 실수 분수초기값문제를 만족하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 만일 $z^a f(z,t)$가 단사성임이 보장된다면, 복소 FDE의 해 역시 단사성이 보장되는가?
• RQ5 이전에 알려진 바보다 더 넓은 조건 하에서 실수 분수초기값문제의 실수 해석적 해 존재성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 (I)과 (II)를 만족하는 $f$에 대해, 문제 $D_z^a u(z) = f(z,u(z))$와 $u(0) = b$는 $R \in (0,1]$에 대해 $\mathbb{U}_R$에서 해석적이고 $\overline{\mathbb{U}}_R$에서 연속인 $\mathcal{B}_R$에 속하는 적어도 하나의 해 $u$를 가진다.
• 리프시츠 유형 조건 $\kappa < 1 / \Gamma(2-a)$ 하에서, 동일한 문제의 해는 $\mathcal{B}_R$ 내에서 유일하다.
• 문제 $D_z^a (u(z) - u(0)) = f(z,u(z))$에 대해서도 유사한 조건 하에서 존재성과 유일성이 확립되며, $z^a f(z,b)|_{z=0} = 0$임이 조건이다.
• 실수부 $\Re(f(z,t))$에 대해 $f(x,y) = \Re(f(z,t))$이면, 복소해 $u(z)$의 실수부는 리만-리오빌 또는 카푸토 도함수를 갖는 실수 분수초기값문제 $\mathcal{D}^a u(x) = f(x, u(x))$를 만족한다.
• 만일 $z^a f(z,t)$가 $z$와 $t$에 대해 선형이라면, IVP의 실수해는 $(0,1)$에서 유일하고 리만 해석적이며 $[0,1]$에서 연속이다.
• 슈바르츠 보조정리를 활용함으로써, 이전 연구보다 더 넓은 범위의 $f$에 대해 유일성 결과를 확보할 수 있었으며, 이는 이전 결과(비고 3.9(i))를 향상시킨다.