[논문 리뷰] The Newtonian Limit of Geometrostatics

Carla Cederbaum|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 26.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 1인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 유체가 국소적으로 분포된 정적이고 고립된 상대론적 시스템에 대해 줌프레드 에플러스의 기준 이론과 허위 뉴턴역학 중력 이론을 사용하여 기하정역학의 뉴턴 근사한계를 확립한다. 이는 질량과 질량 중심의 새로운 국소적 정의를 도입하여 빛의 속도가 무한해질 때 뉴턴의 대응 개념으로 수렴함을 보여주며, 상대론적 질량 중심이 약한 중력과 낮은 속도에서 뉴턴의 질량 중심으로 수렴함을 엄밀히 증명한다.

ABSTRACT

This thesis discusses the Newtonian limit of General Relativity for static isolated systems with compactly supported matter. We call these systems "geometrostatic" to underline their geometric nature. We introduce new quasi-local notions of mass and center of mass that can be read off locally in the vicinity of the matter/black holes. We prove that these notions asymptotically coincide with ADM-mass and the Huisken-Yau CMC-center of mass. Moreover, we prove that they converge to Newtonian mass and center of mass in the Newtonian limit. The Newtonian limit is discussed in the language of Ehlers' frame theory. Furthermore, we prove several uniqueness claims in geometrostatics as well as other geometric and physical properties of these systems. We analyze equipotential sets, provide a pseudo-Newtonian reformulation of geometrostatics, and prove uniqueness of static photon spheres.

연구 동기 및 목표

• 정적이고 고립된 시스템에 대해 물질이 국소적으로 분포된 상황에서 일반 상대성 이론의 뉴턴 근사한계를 엄밀히 확립하는 것.
• 물질 근처에서 계산 가능한, 새로운 국소적 질량과 질량 중심을 기하정역학에서 정의하는 것.
• 에플러스의 기준 이론과 허위 뉴턴역학 중력 이론을 통해 뉴턴역학적 개념과 상대론적 개념을 통합하는 것.
• 빛의 속도가 0으로 수렴할 때 상대론적 질량과 질량 중심이 그 뉴턴적 대응값으로 수렴함을 증명하는 것.
• 뉴턴역학 중력 이론이 일반 상대성 이론의 저속도, 약한 필드 근사로 일관되게 작용할 수 있는 기하학적이고 물리적인 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 에플러스의 기준 이론을 사용하여 뉴턴역학적 중력과 상대론적 중력 모두를 통합된 프레임워크 안에서 기술하는 것.
• 기하정역학과 허위 뉴턴역학 중력 이론 간의 관계를 설정하기 위해 등각 변환을 적용하여 곡률이 있는 시공간 내에서도 뉴턴 유사 수식을 가능하게 하는 것.
• 포함 표면의 유도 계량과 허위 뉴턴역학 잠재력에 기반한 새로운 국소적 질량 중심 공식을 도입하는 것.
• 파동-호모로픽이고 점점 평탄해지는 좌표계를 사용하여 기하학적 및 물리적 양들이 매끄럽게 수렴하도록 보장하는 것.
• 그린의 공식과 균일 수렴 논증을 적용하여 허위 뉴턴역학 질량 중심이 뉴턴 질량 중심으로 연결됨을 보이는 것.
• 가중치가 부여된 소볼레프 공간과 점점 수렴하는 분석을 사용하여 붕괴 행동을 제어하고 극한의 잘 정의됨을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저속도와 약한 중력에서 정적이고 고립된 상대론적 시스템의 질량 중심이 뉴턴 질량 중심으로 수렴하는가?
• RQ2 기하정역학에서 기하학적으로 정의된 국소적 질량 중심이 일관되게 뉴턴 개념과 관련될 수 있는가?
• RQ3 기하정역학에서의 상대론적 질량과 질량 중심은 어떤 조건에서 뉴턴 근사한계로 수렴하는가?
• RQ4 허위 뉴턴역학 중력 이론은 기하정역학과 뉴턴역학 중력 이론 사이의 격차를 어떻게 메우는가?
• RQ5 극한에서 둘러싸는 표면의 선택에 관계없이 새로운 국소적 질량과 질량 중심 정의가 독립적인가?

주요 결과

• ADM, CMC, Iyer 및 기준 이론 기반 접근법을 통해 정의된 기하정역학의 상대론적 질량 중심은 빛의 속도가 무한해질 때 뉴턴 질량 중심으로 수렴한다.
• 허위 뉴턴역학 질량 중심은 잘 정의되어 있으며, 그린의 공식과 발산 정리에 의해 둘러싸는 표면의 선택과 무관하게 독립적임을 증명하였다.
• 주어진 점점 수렴하는 조건 하에서 허위 뉴턴역학 질량이 뉴턴 질량으로 수렴하는 방식으로 질량의 뉴턴 근사한계가 엄밀히 확립되었다.
• 물질을 둘러싸는 표면의 유도 계량과 잠재력을 사용하여 명시적으로 정의된 새로운 국소적 질량 중심 공식은 극한에서 뉴턴 질량 중심과 일치한다.
• 좌표, 법선 벡터, 잠재력의 균일 수렴과 질량의 수렴성 덕분에 질량 중심의 수렴이 보장된다.
• 파동-호모로픽이고 점점 평탄해지는 좌표계가 뉴턴 근사한계에서 데카르트 좌표계로 균일하게 수렴한다는 가정 하에 결과가 성립한다.