[논문 리뷰] The Non-Backtracking Spectrum of the Universal Cover of a Graph

Omer Angel, Joel Friedman외 1명|ArXiv.org|2007. 12. 02.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한 그래프의 유니버설 커버에서의 비백트래킹 스펙트럼을 다항방정식 시스템과 스펙트럼 반경 조건을 사용하여 완전한 대수적 특성화를 제공한다. 스펙트럼은 노름이 1보다 작은 이러한 방정식의 해에 의해 결정되며, 비정규 그래프의 경우 스펙트럼이 복소평면에서 양의 측도를 가질 수 있음을 보여준다—정규 그래프의 경우와 대조된다. 주요 기여는 간선 변수에 대한 비율 시스템과 관련 행렬 연산자의 스펙트럼 반경 분석을 통해 스펙트럼을 계산하는 효과적인 알고리즘을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

A non-backtracking walk on a graph, $H$, is a directed path of directed edges of $H$ such that no edge is the inverse of its preceding edge. Non-backtracking walks of a given length can be counted using the non-backtracking adjacency matrix, $B$, indexed by $H$'s directed edges and related to Ihara's Zeta function. We show how to determine $B$'s spectrum in the case where $H$ is a tree covering a finite graph. We show that when $H$ is not regular, this spectrum can have positive measure in the complex plane, unlike the regular case. We show that outside of $B$'s spectrum, the corresponding Green function has ``periodic decay ratios.'' The existence of such a ``ratio system'' can be effectively checked, and is equivalent to being outside the spectrum. We also prove that the spectral radius of the non-backtracking walk operator on the tree covering a finite graph is exactly $\sqrt\gr$, where $\gr$ is the growth rate of the tree. This further motivates the definition of the graph theoretical Riemann hypothesis proposed by Stark and Terras \cite{ST}. Finally, we give experimental evidence that for a fixed, finite graph, $H$, a random lift of large degree has non-backtracking new spectrum near that of $H$'s universal cover. This suggests a new generalization of Alon's second eigenvalue conjecture.

연구 동기 및 목표

• 유한 그래프의 유니버설 커버에서의 비백트래킹 워크 연산자의 스펙트럼을 특성화하는 것.
• 정규 그래프를 초월한 스펙트럼 이론을 확장하기 위해, 스펙트럼이 복소평면에서 양의 측도를 가질 수 있는 비정규 케이스를 분석하는 것.
• 녹스 함수의 가역성과 주기적 감쇠 비율 시스템 사이의 연결을 설정하는 것.
• 다항방정식과 스펙트럼 반경 조건을 사용한 스펙트럼 계산을 위한 알고리즘적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 지향된 간선에 따라 인덱싱된 비백트래킹 인접행렬 B를 사용하여 비백트래킹 워크를 세는 것.
• 연산자 B를 유니버설 커버 eH로 업그레이드하고 일반화된 녹스 함수를 통해 그 스펙트럼을 분석하는 것.
• 녹스 함수의 주기적 감쇠 비율을 나타내는 비율 시스템 {re}e∈E(H)를 정의하는 것.
• 간선 가중치와 비율에서 유도된 항목을 가진 행렬 R을 구성하고, 그 스펙트럼 반경 α(r)를 계산하는 것.
• eB − λI 가 가역임과 동치인 조건을, 노름이 1보다 작은 조건을 만족하는 다항방정식 시스템의 해가 존재하는지 여부로 설정하는 것.
• 핵심 연산자의 유계성에 기반하여 α(r) < 1 조건을 스펙트럼에 속하는지 여부를 분류하는 기준으로 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 그래프의 유니버설 커버에서의 비백트래킹 스펙트럼은 그래프가 정규가 아니더라도 대수적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 기저 그래프가 비정규일 경우 스펙트럼의 구조는 어떻게 되며, 복소평면에서 양의 측도를 가질 수 있는가?
• RQ3 복소수 λ가 유니버설 커버에서 비백트래킹 연산자의 스펙트럼 외부에 있는지를 체계적으로 판단할 수 있는 방법이 있는가?
• RQ4 유한 그래프의 랜덤한 큰 리프트에서의 스펙트럼은 그 유니버설 커버의 스펙트럼과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 유니버설 커버에서 비백트래킹 연산자의 스펙트럼 반경은 트리의 성장률로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 유한 그래프의 유니버설 커버에서 비백트래킹 연산자의 스펙트럼은 간선 변수 {re}에 대한 다항방정식 시스템의 해가 존재하고, α(r) < 1 조건을 만족할 때 결정된다.
• 비정규 그래프의 경우 비백트래킹 스펙트럼은 복소평면에서 양의 측도를 가질 수 있으며, 정규 케이스에서처럼 구간과 원의 합집합에 포함되는 것은 아니다.
• 유니버설 커버에서 비백트래킹 워크 연산자의 스펙트럼 반경은 정확히 √gr이며, 여기서 gr은 트리의 성장률이다.
• 수치 실험 결과, 유한 그래프의 랜덤한 큰 리프트에서의 비백트래킹 스펙트럼은 그 유니버설 커버의 스펙트럼로 수렴하는 것으로 나타났다.
• α(r) < 1 조건을 만족하는 비율 시스템은 eB − λI 의 가역성에 대해 필요하고 충분하며, 이러한 시스템은 효과적으로 검증할 수 있다.
• α(r) < 1 조건을 만족하는 일반화된 주기적 비율 시스템의 존재는 관련 녹스 함수 커널의 유계성을 보장하며, 스펙트럼을 특성화한다.