[논문 리뷰] The non-equilibrium allele frequency spectrum in a Poisson random field framework

Ingemar Kaj, Carina F. Mugal|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 15.

Evolution and Genetic Dynamics참고 문헌 33인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 선택 작용이 있는 Wright-Fisher 집단에서, 포isson 확률적 적분의 척도 극한과 탄생-죽음 과정과의 이중성(duality)을 이용하여, 비평형 상태의 등위자주도 스펙트럼(AFS)을 포아송 랜덤 필드 프레임워크 내에서 개발한다. 주요 기여는 비평형 AFS를 고정 시간 확률 분포를 통해 표현함으로써, 선택 작용과 변화하는 집단 파rameter를 고려한 시간에 의존하는 시나리오로 평형 이론을 확장한 것이다.

ABSTRACT

In population genetic studies, the allele frequency spectrum (AFS) efficiently summarizes genome-wide polymorphism data and shapes a variety of allele frequency-based summary statistics. While existing theory typically features equilibrium conditions, emerging methodology requires an analytical understanding of the build-up of the allele frequencies over time. In this work, we use the framework of Poisson random fields to derive new representations of the non-equilibrium AFS for the case of a Wright-Fisher population model with selection. In our approach, the AFS is a scaling-limit of the expectation of a Poisson stochastic integral and the representation of the non-equilibrium AFS arises in terms of a fixation time probability distribution. The known duality between the Wright-Fisher diffusion process and a birth and death process generalizing Kingman's coalescent yields an additional representation. The results carry over to the setting of a random sample drawn from the population and provide the non-equilibrium behavior of sample statistics. Our findings are consistent with and extend a previous approach where the non-equilibrium AFS solves a partial differential forward equation with a non-traditional boundary condition. Moreover, we provide a bridge to previous coalescent-based work, and hence tie several frameworks together. Since frequency-based summary statistics are widely used in population genetics, for example, to identify candidate loci of adaptive evolution, to infer the demographic history of a population, or to improve our understanding of the underlying mechanics of speciation events, the presented results are potentially useful for a broad range of topics.

연구 동기 및 목표

• 인간 집단 유전학에서 평형 기반의 등위자주도 스펙트럼(AFS) 이론을 비평형 조건으로 확장하기 위해.
• 포아송 랜덤 필드 프레임워크를 사용하여 선택 작용 하에서 시간에 따라 변화하는 등위 빈도의 축적 과정을 모델링하기 위해.
• 비평형 AFS와 고정 시간 분포 사이의 연결 고리를 확률 과정의 이중성(duality)을 통해 수립하기 위해.
• 기존의 PDE 기반 접근법을 확률론적 척도 극한 표현을 제공함으로써 일반화하기 위해.
• 포아송 랜덤 필드 모델과 공진산 이론(coalescent theory)을 이중성 관계를 통해 연결함으로써 방법론적 일관성을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 새로운 돌연변이가 포아송 과정으로 도착하고, 그 빈도가 독립적인 마코프 과정에 따라 변화하는 포아송 랜덤 필드 프레임워크를 사용한다.
• 비평형 AFS를 돌연변이 사건에 대한 포아송 확률적 적분의 기대값의 척도 극한으로 유도한다.
• Wright-Fisher 확산 과정과 탄생-죽음 과정 사이의 이중성을 적용하여 AFS를 고정 시간 분포의 관점에서 표현한다.
• 모집단 크기 N과 루크스 수 L이 모두 큰 경우의 극한 절차를 사용하며, 돌연변이율은 θ/N 비율으로 척도 조정된다.
• 모멘트 생성 함수와 라플라스 변환을 사용하여 경험적 AFS의 수렴성을 분석한다.
• 특수한 경계 행동(고정 시점 x=1)을 고려하는 보조정리에 의해, 1에서 0으로 수렴하는 함수에서 일반 유한 함수로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택 작용이 존재하는 상황에서 비평형 등위자주도 스펙트럼을 해석적으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 비평형 AFS와 집단 내 고정 시간 분포 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 포아송 랜덤 필드 프레임워크는 시간에 따라 변화하는 집단 역학과 선택 강도를 어떻게 허용하는가?
• RQ4 Wright-Fisher 확산 과정과 탄생-죽음 과정 간의 이중성은 비평형 AFS의 새로운 표현을 유도하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 기존의 PDE 기반 접근법은 비평형 AFS에 대해 비전통적인 경계 조건을 고려하여 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 비평형 AFS는 포아송 확률적 적분의 기대값으로 표현되며, L→∞일 때 수렴 형태로 수렴한다.
• 수렴하는 AFS는 확산 과정의 고정 시간 분포를 통해 표현되며, 돌연변이 등위의 고정까지의 시간과 연결된다.
• 탄생-죽음 과정과의 이중성은 AFS의 대체 표현을 제공하며, 이는 공진산 이론과 연결된다.
• 이 프레임워크는 기존의 PDE 기반 모델을 시간에 따라 변화하는 파rameter(예: 모집단 크기, 선택 강도)를 포함함으로써 확장한다.
• 결과는 Evans 등(2007)과 Zivkovic & Stephan(2011)의 결과와 일치하지만, 선택 작용과 비평형 역학을 포함함으로써 일반화된다.
• 이 방법은 표본 기반 요약 통계량의 비평형 행동를 유도할 수 있으며, 시간에 따라 변화하는 민족학적 및 선택적 상황에서의 추론을 가능하게 한다.