[논문 리뷰] The non linear perturbation of the Kerr spacetime in an external region

Giulio Caciotta, F. Nicolò|ArXiv.org|2009. 08. 29.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 블랙홀의 사건의 지평선에서 멀리 떨어진 외부 영역에서 케르르 시공간의 비선형 안정성을 확립하며, 초기 자료가 케르르 시공간에 충분히 가까운 경우 진공 아인슈타인 방정식의 해가 전역적으로 존재함을 증명한다. 메트릭 변형이 $ r^{-3} $ 보다 더 빨리 감쇠하는 것으로 가정할 경우, 리만 텐서의 영역 성분이 피링 정리와 일치하는 감쇠를 보이며, 중력파 물리학에서 기대되는 점점 감쇠하는 행동을 확인한다.

ABSTRACT

We prove, outside the influence region of a ball of radius $R_0$ centered in the origin of the initial data hypersurface, the existence of global solutions near to Kerr spacetime, provided that the initial data are sufficiently near to those of Kerr; This external region is the "far" part of the outer region of the perturbed Kerr spacetime. Moreover if we assume that the corrections to the Kerr metric decay sufficiently fast, $o(r^{-3})$, we prove that the various null components of the Riemann tensor decay in agreement with the "Peeling theorem".

연구 동기 및 목표

• 반경 $ R_0 $ 이내의 외부 영역에서 케르르 시공간 근처의 초기 자료에 대해 진공 아인슈타인 방정식의 해가 전역적으로 존재함을 확립하기.
• 변형된 시공간에서 리만 텐서 성분의 점점 감쇠하는 행동을 분석하기.
• 초기 자료의 변형이 빠르게 감쇠하는 조건 하에서 리만 텐서 성분의 감쇠가 피링 정리와 일치함을 보여주기.
• 스칼라 블랙홀에 국한되지 않고 $ J \leq M^2 $ 인 회전하는 블랙홀을 포함한 민코프스키 기반 프레임워크를 초월한 케르르 시공간의 안정성 결과를 확장하기.

제안 방법

• 외부 영역에서 표준 시공간 기하를 정의하기 위해 双중 null 포일리에이션 $ \{C(u), \underline{C}(\underline{u})\} $ 을 사용한다.
• 접속 계수와 리만 텐서 성분을 제어하기 위해 보조 부등식 $ \tilde{\cal Q} $, $ \delta{\cal O} $, 및 $ \delta{\cal R} $ 를 활용한다.
• 미래의 null 무한대 근처의 점점 감쇠 행동을 다루기 위해 감쇠 가중치 $ r^{3-2/p} |u|^{2+\delta} $ 를 갖는 가중치 $ L^2 $-유형 노름을 적용한다.
• 케르르 시공간에서 시간 방향 킬링 장에 대한 메트릭 행동을 연구하기 위해 변형 텐서 분석을 $ {}^{(T_0)}\!\pi $ 를 사용해 구현한다.
• 곡률 성분, 특히 $ \chi, \underline{\chi}, \zeta, \omega, \underline{\omega} $ 의 정밀한 케르르 시공간 계산과 추정에 의존한다.
• 비선형 안정성을 확보하기 위해 메트릭과 제2 기본형태 보정의 $ L^2 $-노름에 기반한 초기 자료의 소형 조건을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 변형이 빠르게 감쇠하는 작은 변형 조건 하에서, 사건의 지평선에서 멀리 떨어진 외부 영역에서 케르르 시공간은 여전히 비선형적으로 안정한가?
• RQ2 변형된 시공간에서 리만 텐서의 영역 성분은 피링 정리에 따라 감쇠하는가?
• RQ3 스칼라 블랙홀의 경우에 국한되지 않고 $ J \leq M^2 $ 인 회전하는 케르르 블랙홀에 대해서도 안정성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 리만 텐서의 피링 행동을 보장하기 위해 감쇠율 $ o(r^{-3}) $ 의 역할은 무엇인가?
• RQ5 손실 도함수 문제와 외부 영역에서 균일한 감쇠를 유지하기 위해 부스터랩 메서드를 어떻게 수정할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 자료가 케르르 시공간에 충분히 가까운 한, 반경 $ R_0 $ 이외의 영역에서 진공 아인슈타인 방정식의 전역 해가 존재한다.
• 완전한 외향 null 곡면 $ C(u) $ 를 갖는 표준 이중 null 포일리에이션으로 시공간를 분할할 수 있으며, 이는 미래 완비성을 보장한다.
• 메트릭과 제2 기본형태의 변형이 $ r^{-3} $ 보다 더 빨리 감쇠하는 경우, 리만 텐서 성분은 피링 정리에서 예측한 바와 같이 감쇠한다.
• 외부 영역에서 $ \delta{\cal R} $, $ \delta{\cal O} $, 및 $ \tilde{\cal Q} $ 노름의 정밀한 추정을 통해 리만 텐서 성분의 감쇠가 확인된다.
• 케르르 시공간의 변형 텐서 $ {}^{(T_0)}\!\pi $ 는 식별적으로 0이며, 이는 그 정적 성질을 확인하고 변형 제어에 기여한다.
• 초기 자료의 소형 조건은 노름 $ {\cal J}(\Sigma_0, R_0; \delta{{}^{(3)}\!}{\bf g}, \delta{\bf k}) \leq \varepsilon $ 으로 정량화되며, 충분히 작은 $ \varepsilon $ 에 대해 비선형 안정성을 보장한다.