[논문 리뷰] The Nonassociativity of the Double Minus Operation

Jia Huang, Madison Mickey외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 16.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수에서 비결합적인 이중 빼기 연산 $ a \ominus b := -a - b $ 를 사용하여 OEIS 수열 A000975에 대한 새로운 조합적 해석을 제안한다. $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 의 괄호 처리를 완전 이진 트리의 구조로 분석함으로써, 서로 다른 결과의 수가 A_n, 즉 A000975의 n번째 항과 정확히 일치함을 보이며, 이는 완전 이진 트리의 리프 깊이의 기현수를 통해 비결합성의 정량적 측도를 제공한다. 이 결과는 A000975로 수여되는 새로운 종류의 객체를 제시한다.

ABSTRACT

The sequence A000975 in OEIS can be defined by $A_1=1$, $A_{n+1}=2A_n$ if $n$ is odd, and $A_{n+1}=2A_n+1$ if $n$ is even. This sequence satisfies other recurrence relations, admits some closed formulas, and is known to enumerate several interesting families of objects. We provide a new interpretation of this sequence using a binary operation defined by $a\ominus b := -a -b$. We show that the number of distinct results obtained by inserting parentheses in the expression $x_0\ominus x_1\ominus \cdots\ominus x_n$ equals $A_n$, by investigating the leaf depth in binary trees. Our result can be viewed as a quantitative measurement for the nonassociativity of the binary operation $\ominus$.

연구 동기 및 목표

• 비결합적인 이진 연산을 사용하여 정수 수열 A000975에 대한 새로운 조합적 해석을 제공하는 것.
• 이중 빼기 연산 $ a \ominus b = -a - b $ 의 비결합성을 괄호 처리 결과의 수를 세는 방식으로 정량화하는 것.
• 괄호 처리 결과와 $ n+1 $개의 리프를 가진 완전 이진 트리의 리프 깊이 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 이진 수열의 깊이 기현수를 이용하여 $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 의 괄호 처리 결과에서 나타나는 모든 서로 다른 결과를 특성화하는 것.
• 양의 부호의 수에 따라 결과를 정밀하게 세어 $ C_{\ominus,n} $ 에 대한 닫힌 표현식을 도출하는 것.

제안 방법

• 복소수에서 비결합적인 이중 빼기 연산 $ a \ominus b := -a - b $ 를 정의한다.
• $ x_0 \ominus \cdots \ominus x_n $ 의 괄호 처리를 $ n+1 $개의 리프를 가진 완전 이진 트리로 모델링한다.
• 각 리프에 깊이(루트에서의 간선 수)를 할당하고, 최종 표현식에서 각 $ x_i $ 의 부호를 해당 리프 깊이의 기현수에 따라 결정한다.
• 각 $ x_i $ 의 부호 패턴 $ (-1)^{d_i} $ 가 트리 내 해당 리프의 깊이 기현수에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다.
• 생성함수와 단위근을 사용하여 모듈로 3에 대한 이항계수의 합을 평가함으로써 $ C_{\ominus,n} $ 에 대한 닫힌 공식을 도출한다.
• $ n \geq 2 $ 에 대해 $ C_{\ominus,n} = 2^n - 1 - C_{\ominus,n-1} $ 의 재귀식을 수립하여, 이는 $ A_n $ 의 재귀식과 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결합 연산 $ a \ominus b = -a - b $ 에서 $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 의 괄호 처리에서 발생하는 서로 다른 결과는 총 몇 개인가?
• RQ2 최종 표현식에서 변수의 부호 패턴을 특성화하는 조합적 구조는 무엇인가?
• RQ3 서로 다른 결과의 수를 양의 부호의 수에 따라 정밀하게 세어 표현할 수 있는가?
• RQ4 괄호 처리 결과와 A000975로 수여되는 다른 알려진 객체 사이에 직접 이원사상이 존재하는가?
• RQ5 모든 $ n+1 $개의 리프를 가진 완전 이진 트리에서 평균 리프 깊이는 얼마인가?

주요 결과

• $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 의 괄호 처리에서 발생하는 서로 다른 결과의 수는 정확히 $ A_n $ 이며, 이는 OEIS 수열 A000975의 n번째 항과 일치한다.
• 최종 표현식에서 각 변수 $ x_i $ 의 부호는 $ (-1)^{d_i} $ 이며, 여기서 $ d_i $ 는 해당 리프의 깊이다.
• 정확히 $ r $ 개의 양의 부호를 가진 결과의 정밀한 수 $ C_{\ominus,n,r} $ 는 $ 1-n \pmod{3} $ 과 합동인 인덱스에 대한 이항계수의 합으로 주어지며, 이는 수정된 파스칼 삼각형을 이룬다.
• 총 수 $ C_{\ominus,n} $ 는 $ n \geq 2 $ 에 대해 $ C_{\ominus,n} = 2^n - 1 - C_{\ominus,n-1} $ 의 재귀식을 만족하며, 이는 $ A_n $ 의 재귀식과 일치한다.
• 단위근을 사용하여 유도된 닫힌 표현식 $ C_{\ominus,n} = \left\lfloor \frac{2^{n+1}}{3} \right\rfloor $ 는 $ A_n $ 과의 일치를 확인한다.
• 모든 서로 다른 결과는 깊이 기현수 $ d_i $ 가 $ i $번째 리프의 기현수인, 허용 가능한 이진 수열 $ (d_0, \ldots, d_n) \in \{0,1\}^{n+1} $ 과 일대일 대응된다.