[논문 리뷰] The Noncommutative Geometry of k-graph C*-Algebras

David Pask, Adam Rennie외 1명|ArXiv.org|2005. 12. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 k-그래프 C*-대수에서 충실한 유한하지 않은 추적의 존재 조건을 그 기본 k-그래프의 그래프 추적과 연결시켜 설정한다. 이러한 대수에 대해 (k,∞)-summable인 유한하지 않은 스펙트럴 트리플을 구성하고, KK이론을 통해 유한하지 않은 인덱스 페어링을 계산하며, 이는 T^k 작용에 대한 고정점 대수의 K-이론에 값이 있는 KK-인덱스와 일치함을 보여, 유한하지 않은 인덱스 이론과 KK이론 사이의 깊은 연결 고리를 드러낸다.

ABSTRACT

This paper is comprised of two related parts. First we discuss which k-graph algebras have faithful gauge invariant traces, where the gauge action of $\T^k$ is the canonical one. We give a sufficient condition for the existence of such a trace, identify the C*-algebras of k-graphs satisfying this condition up to Morita equivalence, and compute their K-theory. For k-graphs with faithful gauge invariant trace, we construct a smooth $(k,\infty)$-summable semifinite spectral triple. We use the semifinite local index theorem to compute the pairing with K-theory. This numerical pairing can be obtained by applying the trace to a KK-pairing with values in the K-theory of the fixed point algebra of the $\T^k$ action. As with graph algebras, the index pairing is an invariant for a finer structure than the isomorphism class of the algebra.

연구 동기 및 목표

• k-그래프 C*-대수가 충실한, 유한하지 않은, 하부연속적인, 게이지-불변의 추적을 갖는 조건을 규명하는 것.
• 그래프 대수에서의 유한하지 않은 스펙트럴 트리플의 구성 방식을 k-그래프 대수로 일반화하는 것.
• KK이론을 사용하여 유한하지 않은 인덱스 페어링을 계산하고, T^k 작용에 대한 고정점 대수의 K-이론과 연관짓는 것.
• k-그래프 대수의 맥락에서 유한하지 않은 인덱스 이론과 KK이론 사이의 관계를 탐구하는 것.

제안 방법

• k-그래프 Λ에 대한 충실한 그래프 추적의 존재를 통해 C*(Λ)에서 충실한 게이지-불변의 추적의 존재를 규명한다.
• 침습적이지 않은, 국소적으로 유한하고 국소적으로 볼록한 k-그래프에서, sink가 없는 경우에 대해 카스파로프 모듈을 구성하며, k가 짝수일 때는 스펙트럴 트리플이 된다.
• k-그래프 C*-대수에서의 T^k 작용을 이용해 토러스 T^k의 디랙 연산자를 '푸시 포워드'하여 k-그래프 대수에서의 디랙 연산자를 정의한다.
• 스펙트럴 트리플의 일부로, T^k 작용에 의한 그래프 대수의 교차곱의 역할을 하는 볼츠만 대수를 구성한다.
• 유한하지 않은 국소 인덱스 정리를 적용하여 K-이론과의 인덱스 페어링을 계산한다.
• 인덱스 페어링을 T^k 작용의 고정점 대수의 K-이론에 값이 있는 KK-페어링과 연관짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-그래프 대수가 충실한, 유한하지 않은, 게이지-불변의 추적을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 추적을 갖는 k-그래프 C*-대수에 대해 어떻게 유한하지 않은 스펙트럴 트리플을 구성할 수 있는가?
• RQ3 이 맥락에서 유한하지 않은 인덱스 페어링과 KK이론 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 k-그래프 대수에서의 T^k 작용은 어떻게 디랙 연산자의 구성에 기여하는가?
• RQ5 유한하지 않은 국소 인덱스 정리를 통해 계산된 인덱스 페어링은 KK-인덱스로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• k-그래프 대수 C*(Λ)가 충실한, 유한하지 않은, 하부연속적인, 게이지-불변의 추적을 갖는다. ⇔ k-그래프 Λ가 충실한 그래프 추적을 갖는다.
• 충실한 그래프 추적을 갖는 k-그래프에 대해, 이 논문은 (k,∞)-summable인 유한하지 않은 스펙트럴 트리플을 구성한다.
• K-이론과의 유한하지 않은 인덱스 페어링은 T^k 작용에 대한 고정점 대수의 K-이론에 값이 있는 KK-인덱스와 일치한다.
• 이 구성은 모든 정수 차원 k ≥ 1에 대해 무한히 많은 (유한하지 않은) 스펙트럴 트리플의 예를 제공한다.
• 충실한 그래프 추적을 갖는 k-그래프 대수들은 ℤ^k의 부분군 G에 대해 C*(G)의 직합과 모리타 동치이며, 따라서 질량 0에서 k까지의 토러스 위의 연속 함수의 직합과 모리타 동치이다.
• 이러한 k-그래프 대수의 K-이론은 끝 성분으로의 분해를 통해 계산된, 질량 l_v ≤ k인 토러스의 K-이론의 직합과 동형이다.