[논문 리뷰] The noncommutative residue and canonical trace in the light of Stokes' and continuity properties

Sylvie Paycha|ArXiv.org|2007. 06. 18.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 선형 형식이 기호에서 편미분에 대해 0이 되는 스토크스 성질을 활용하여 특정 클래스의 고전적 미분형식에 대한 캐논컬 트레이스와 비가환 잔여도의 유일성을 확립한다. 비정수 차수의 연산자 및 홀수/짝수 클래스 연산자에 대해 캐논컬 트레이스는 brackets에 대해 0이 되는 연속 선형 함수로서의 유일성을 증명하고, 결함 공식과 해석적 계속을 통해 캐논컬 트레이스를 전역적으로 통합된 밀도로 확장한다.

ABSTRACT

We show that the noncommutative residue density, resp. the cut-off regularised integral are the only closed linear, resp. continuous closed linear forms on certain classes of symbols. This leads to alternative proofs of the uniqueness of the noncommutative residue, resp. the canonical trace as linear, resp. continuous linear forms on certain classes of classical pseudodifferential operators which vanish on brackets. The uniqueness of the canonical trace actually holds on classes of classical pseudodifferential with vanishing residue density which include non integer order operators in all dimensions and odd-class (resp. even-class) operators in odd (resp. even) dimensions. The description of the canonical trace for non integer order operators as an integrated global density on the manifold is extended to odd-class (resp. even-class) operators in odd (resp. even) dimensions on the grounds of defect formulae for regularised traces of classical pseudodifferential operators.

연구 동기 및 목표

• 기호에서 스토크스 성질을 사용하여 비가환 잔여도와 캐논컬 트레이스를 통합적으로 특성화하는 것.
• 잔여도 밀도가 0인 고전적 미분형식 연산자 클래스에서 캐논컬 트레이스의 유일성을 확립하는 것.
• 해석적 계속과 결함 공식을 통해 비정수 차수 및 홀수/짝수 클래스 연산자에 대해 캐논컬 트레이스를 전역적으로 정의된 통합 밀도로 확장하는 것.
• 연산자 brackets에서의 선형 형식의 0이 되는 것과 푸리에 변수에서의 편미분에서의 0이 되는 것 사이의 동치성을 밝혀내는 것 — 이를 위해 공식 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{\rm Op}(\partial_{\xi_i}p)$ 를 사용함.

제안 방법

• 기호에서 선형 형식을 스토크스 성질(푸리에 변수 $\xi$ 에서의 편미분에 대해 0)을 통해 특성화하여, 잘라내기 정규화 적분이 유일한 그러한 형식임을 식별한다.
• 공식 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{\rm Op}(\partial_{\xi_i}p)$ 를 사용하여 연산자 brackets에서의 0과 기호에서의 도함수에서의 0을 연결한다.
• 좌표 차트에서 국소 형식을 붙이기 위해 단위 분할을 적용하여 전역 선형성과 캐논컬 트레이스에 대한 비례성을 보인다.
• 정규화를 위해 $A(z) = A Q^{-z}$ 를 사용한 해석적 계속을 적용하여 정규화된 트레이스 $\mathrm{TR}(A(z))$ 를 정의한다. 이는 비정수 차수 또는 홀수/짝수 클래스 연산자에 대해 유리형이며 $z=0$ 에서 해석적이다.
• 문헌 [PS]의 결함 공식을 활용하여, 홀수 차수 연산자에 대해 홀수 차원에서, 짝수 차수 연산자에 대해 짝수 차원에서 캐논컬 트레이스가 $M$ 상에서 전역 밀도로서 잘 정의됨을 보인다.
• 임의의 잔여도가 0인 동차 기호는 스무딩을 제외한 도함수의 합으로 표현 가능하므로, 유일성 문제를 기호에서 닫힌 선형 형식으로 줄인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논컬 트레이스는 고전적 미분형식 연산자에서 brackets에 대해 0이 되는 연속 선형 함수로서 어떻게 특성화되는가?
• RQ2 기호에서 스토크스 성질을 통해 비가환 잔여도와 캐논컬 트레이스는 어떻게 유일하게 특성화되는가?
• RQ3 고전적 미분형식 연산자의 어떤 클래스에서 캐논컬 트레이스가 전역적으로 통합된 밀도로서 잘 정의되는가?
• RQ4 잔여도 밀도는 캐논컬 트레이스의 유일성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 정규화 $A(z) = A Q^{-z}$ 에서의 해석적 계속은 비정수 차수 및 홀수/짝수 클래스 연산자에 대해 캐논컬 트레이스의 연속성과 전역 정의를 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 캐논컬 트레이스는 비정수 차수 고전적 미분형식 연산자에서 brackets에 대해 0이 되는 연속 선형 형식으로서 (상수배를 제외하고) 유일하다.
• 홀수 차수 연산자에 대해 홀수 차원에서, 짝수 차수 연산자에 대해 짝수 차원에서 캐논컬 트레이스는 brackets에 대해 0이 되는 유일한 연속 선형 형식으로 특성화된다.
• 비정수 차수 연산자 및 홀수 차수(해당 차원이 홀수일 때) 또는 짝수 차수(해당 차원이 짝수일 때) 연산자에 대해 해석적 계속과 결함 공식을 통해 캐논컬 트레이스는 $M$ 상에서 전역적으로 정의된 통합 밀도로 확장된다.
• 연산자 brackets에서의 선형 형식의 0은 푸리에 변수 $\xi$ 에서의 편미분에서의 0과 동치이며, 공식 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{ m Op}(\partial_{\xi_i}p)$ 를 통해 이를 보였다.
• 잘라내기 정규화 적분 $-\hskip-10.0pt\int_{\mathbb{R}^n}$ 은 기호에서 유일한 닫힌 선형 형식이며, 비가환 잔여도는 고전적 기호에서 유일한 그러한 형식이다.
• 정규화 $A(z) = A Q^{-z}$ 에서의 캐논컬 트레이스 정의는 적합한 타원형 연산자 $Q$ 의 선택과 무관하므로, 트레이스 정의의 강건성을 보장한다.