[논문 리뷰] The normal symbol on Riemannian manifolds

Markus J. Pflaum|ArXiv.org|1996. 12. 11.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체 위의 미분형 연산자에 대해 기하학적으로 자연스러운 기호 해석학을 정규 기호를 사용하여 제안한다. 정규 기호는 코탄젠트 벌레이지 위의 스무스 함수로, 동형사상 범주에 값을 갖는다. 이는 기호와 연산자 사이에 스무스 연산자에 대한 캐논리컬한 적분 기반의 동형사상(이sovorphism)을 수립하여, 국소 좌표에 의존하지 않는 전역적이고 좌표 자유인 프레임워크를 제공함으로써 타당성과 파라메트릭스의 구성이 가능하게 한다.

ABSTRACT

For an arbitrary Riemannian manifold $X$ and Hermitian vector bundles $E$ and $F$ over $X$ we define the notion of the normal symbol of a pseudodifferential operator $P$ from $E$ to $F$. The normal symbol of $P$ is a certain smooth function from the cotangent bundle $T^*X$ to the homomorphism bundle $Hom (E,F)$ and depends on the metric structures resp. the corresponding connections on $X$, $E$ and $F$. It is shown that by a natural integral formula the pseudodifferential operator $P$ can be recovered from its symbol. Thus, modulo smoothing operators resp. smoothing symbols, we receive a linear bijective correspondence between the space of symbols and the space of pseudodifferential operators on $X$. This correspondence comprises a natural transformation between appropriate functors. A formula for the asymptotic expansion of the product symbol of two pseudodifferential operators in terms of the symbols of its factors is given. Furthermore an expression for the symbol of the adjoint is derived. Finally the question of invertibility of pseudodifferential operators is considered. For that we use the normal symbol to establish a new and general notion of elliptic pseudodifferential operators on manifolds.

연구 동기 및 목표

• 리만 다항식 위의 미분형 연산자에 대해 국소 좌표에 의존하지 않는 전역적이고 기하학적으로 자연스러운 기호 해석학을 개발하는 것.
• 명시적인 적분 공식을 통한 기호 사상과 그 역의 정의를 통해, 스무스 연산자에 대한 기호와 미분형 연산자 사이의 선형 이분사 대응을 보장하는 것.
• 정규 기호를 이용한 새로운 내재된 타당성의 개념을 수립하여, 고전적 타당성과 도우글리스-니레버그 타당성을 일반화하는 것.
• 이 해석학 내에서 두 연산자의 합성 기호의 명시적 공식을 유도하는 것.
• 비고전적 또는 비동차 타당한 연산자에 대해 파라메트릭스를 정규 기호 프레임워크를 통해 구성할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 메트릭에 적합한 단계 함수를 사용하여 코탄젠트 범주 위의 동형사상 범주에 값이 있는 스무스 섹션으로서 정규 기호를 정의하는 것.
• 기호 사상의 역을 제공하는 캐논리컬한 적분 표현을 사용하여 정규 기호로부터 미분형 연산자를 복원하는 것.
• 기호 해석학 내에서 점근적 전개를 사용하여 두 연산자의 합성 기호의 곱 전개 공식을 도출하는 것.
• 메트릭 구조와 기호 사상의 성질을 활용하여 고정된 연산자의 기호에 대한 공식을 수립하는 것.
• 스무스 기호에 대한 정규 기호의 가역성에 기반한 새로운 타당성의 개념을 도입하여 주된 기호의 필요성을 제거하는 것.
• 이 해석학을 적용하여 도우글리스-니레버그 타당한 시스템이 새로운 의미에서 타당함을 보이고, 기호 해석학을 통해 그들의 파라메트릭스가 존재함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 다항식 위의 미분형 연산자에 대해 국소 좌표 의존성을 피하는 전역적이고 기하학적으로 자연스러운 기호 해석학을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기호로부터 연산자를 재구성하는 캐논리컬한 적분 공식이 존재하는가? 이는 스무스 연산자에 대한 기호와 연산자 사이의 이분사 대응을 수립하는가?
• RQ3 정규 기호를 사용하여 고전적 및 도우글리스-니레버그 타당성을 일반화하는 새로운 내재된 타당성의 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ4 이 해석학 내에서 두 미분형 연산자의 합성 기호의 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ5 이 기호 해석학은 비고전적 또는 비동차 타당한 연산자에 대한 파라메트릭스의 구성이 가능한가?

주요 결과

• 정규 기호는 메트릭과 다양체 및 벡터 번들의 접선에 대한 연결에 의해 유일하게 결정되는, 코탄젠트 범주 위의 스무스 함수로, 동형사상 범주에 값을 갖는다.
• 기호로부터 연산자를 복원하는 캐논리컬한 적분 공식이 존재하며, 이는 기호 공간과 스무스 연산자에 대한 미분형 연산자 공간 사이의 선형 이분사 대응을 수립한다.
• 고정된 연산자의 기호는 정규 기호와 메트릭 구조를 통해 명시적으로 표현되며, 유클리드 경우를 일반화한다.
• 두 연산자의 곱 기호는 인자들의 기호에 대한 점근적 전개를 가지며, 이 전개의 계수는 해석학으로부터 명시적으로 유도된다.
• 미분형 연산자가 타당한 것은 정규 기호가 스무스 기호에 대해 가역일 때이고, 이는 전역적이고 기하학적인 타당성 기준을 제공한다.
• 이 프레임워크는 고전적 및 도우글리스-니레버그 타당성의 개념을 특수한 경우로 포함하며, 비고전적 타당한 시스템에 대한 파라메트릭스의 구성이 가능하다.