[논문 리뷰] The normality and bounded growth of balleans

Тарас Банах, Ігор Протасов|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 18.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 군집론적 구조를 가진 근처 공간인 balleans의 곱의 정규성을 조사하며, 이러한 곱이 정규가 되기 위한 조건을 기술하기 위해 '유계 성장' 개념을 도입한다. 두 비유계 balleans의 곱이 정규이면, 둘 다 유계 성장을 가져야 하며, 곱의 군집론이 선형 순서 기반을 가져야 한다는 것을 증명한다. 이는 balleans에서 위상적 정규성과 군집론적 기하학적 구조 사이의 핵심적인 연결고리를 확립한다.

ABSTRACT

By a ballean we understand a set $X$ endowed with a family of entourages which is a base of some coarse structure on $X$. Given two unbounded ballean $X,Y$ with normal product $X imes Y$, we prove that the balleans $X,Y$ have bounded growth and the bornology of $X imes Y$ has a linearly ordered base. A ballean $(X,\mathcal E_X)$ is defined to have bounded growth if there exists a function $G$ assigning to each point $x\in X$ a bounded subset $G[x]\subset X$ so that for any bounded set $B\subset X$ the union $\bigcup_{x\in B}G[x]$ is bounded and for any entourage $E\in\mathcal E_X$ there exists a bounded set $B\subset X$ such that $E[x]\subset G[x]$ for all $x\in X\setminus B$. We prove that the product $X imes Y$ of two balleans has bounded growth if and only if $X$ and $Y$ have bounded growth and the bornology of the product $X imes Y$ has a linearly ordered base. Also we prove that a ballean $X$ has bounded growth (and the bornology of $X$ has a linearly ordered base) if its symmetric square $[X]^{\le 2}$ is normal (and the ballean $X$ is not ultranormal). A ballean $X$ has bounded growth and its bornology has a linearly ordered base if for some $n\ge 3$ and some subgroup $G\subset S_n$ the $G$-symmetric $n$-th power $[X]^n_G$ of $X$ is normal. On the other hand, we prove that for any ultranormal discrete ballean $X$ and every $n\ge 2$ the power $X^n$ is not normal but the hypersymmetric power $[X]^{\le n}$ of $X$ is normal. Also we prove that the finitary ballean of a group is normal if and only if it has bounded growth if and only if the group is countable.

연구 동기 및 목표

• 두 비유계 balleans의 곱이 정규가 되는 조건을 기술하는 것.
• 곱의 정규성을 위한 필수 조건으로서 balleans에서의 유계 성장 개념을 도입하고 분석하는 것.
• balleans의 군집론과 그 대칭 및 초대칭 거듭제곱의 정규성 간의 관계를 조사하는 것.
• 군의 유한성 군집론이 정규가 되는 조건을 규명하여 이와의 연결고리로 가산성과 유계 성장을 제시하는 것.
• 특히 비가산 또는 해어진 군에 대해 정규성에 관한 열린 문제들, 즉 곱, 대칭 거듭제곱, 군 balleans에서의 정규성에 대해 탐구하는 것.

제안 방법

• balleans를 집합과 그 위에 정의된 이웃성 가중치의 가족으로 정의하며, 이는 군집론적 구조를 형성하고, 구근 이웃과 유계 집합을 사용한다.
• 유계 성장의 개념을 도입: 각 점에 대해 유계 집합을 할당하는 함수로서, 이웃성은 점차 이 집합에 포함되고, 유계 집합 위의 합집합도 여전히 유계여야 한다.
• 곱 balleans의 구조를 사용하여 비유계 balleans $X, Y$에 대해 $X \times Y$의 군집론과 정규성을 분석한다.
• 비정규 케이스에서 모순을 이끌어내기 위해 군론과 집합론적 위상수학의 결과, 특히 중심화자와 기수 불변량을 적용한다.
• 특히 이산적이고 초정규적인 상황에서 정규성을 연구하기 위해 balleans의 대칭 및 초대칭 거듭제곱을 활용한다.
• macro-uniformity와 몫 준동형사상을 사용하여 군 balleans 및 그 부분balleans에서의 정규성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 비유계 balleans의 곱이 정규가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 곱 $X \times Y$의 정규성이 $X$와 $Y$가 모두 유계 성장을 가지며, $X \times Y$의 군집론이 선형 순서 기반을 가짐을 암시하는가?
• RQ3 $n$-번째 대칭 거듭제곱 $[X]^n$의 정규성이 초대칭 거듭제곱 $[X]^{\leq n}$의 정규성을 암시하는가?
• RQ4 군의 유한성 군집론이 정규인지 여부는 그 군이 가산인 것과 동치인가?
• RQ5 군 $G$에 대해 $(G, \mathcal{E}_{[G]^{<\kappa}}})$의 정규성이 $\kappa$가 정칙임을 암시하는가? 특히 $G$가 해어진 군일 경우에 대해.

주요 결과

• 두 비유계 balleans $X$와 $Y$의 곱 $X \times Y$가 정규이면, $X$와 $Y$는 모두 유계 성장을 가지며, $X \times Y$의 군집론은 선형 순서 기반을 가진다.
• 곱 $X \times Y$가 유계 성장을 가지는 것은 $X$와 $Y$가 모두 유계 성장을 가지며, $X \times Y$의 군집론이 선형 순서 기반을 가질 때이고, 그 때에만 성립한다.
• balleans $X$가 유계 성장을 가지며 군집론이 선형 순서 기반을 가지는 것은, 그 대칭 제곱 $[X]^{\leq 2}$가 정규이면서 $X$가 초정규가 아닐 때 성립한다.
• $n \geq 3$ 이고 부분군 $G \subset S_n$일 때, $G$-대칭 $n$-번째 거듭제곱 $[X]^n_G$가 정규이면, $X$는 유계 성장을 가지며 군집론은 선형 순서 기반을 가진다.
• 모든 초정규 이산 balleans $X$와 $n \geq 2$에 대해, $n$-번째 거듭제곱 $X^n$은 정규가 아니지만, 초대칭 거듭제곱 $[X]^{\leq n}$은 정규이다.
• 군의 유한성 군집론은 정규이면서, 이는 유계 성장이 존재할 때이고, 이는 군이 가산일 때에만 성립한다.