[논문 리뷰] The Novikov conjecture, the group of volume preserving diffeomorphisms and Hilbert-Hadamard spaces

Sherry Gong, Jianchao Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 05.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비가역적이고, 가능하면 무한차원인 메트릭 공간으로서의 적합한 힐버트-하다마르드 공간에 대해 올바르고 등급이 있는 등급을 갖는离산 군에 대해 유리수 강한 노비코프 추측을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 군에 대해 유리수 바움-컨스 어셈블리 맵의 단사성을 확립하며, 카스파로프의 정리가 무한차원 설정으로 확장됨을 의미하며, 닫힌 다양체 위의 부피를 보존하는 미분동형사상군의 기하학적으로 이산 부분군에 대해 노비코프 추측을 함의한다.

ABSTRACT

We prove that the Novikov conjecture holds for any discrete group admitting an isometric and metrically proper action on an admissible Hilbert-Hadamard space. Admissible Hilbert-Hadamard spaces are a class of (possibly infinite-dimensional) non-positively curved metric spaces that contain dense sequences of closed convex subsets isometric to Riemannian manifolds. Examples of admissible Hilbert-Hadamard spaces include Hilbert spaces, certain simply connected and non-positively curved Riemannian-Hilbertian manifolds and infinite\-/dimensional symmetric spaces. Thus our main theorem can be considered as an infinite-dimensional analogue of Kasparov's theorem on the Novikov conjecture for groups acting properly and isometrically on complete, simply connected and non-positively curved manifolds. As a consequence, we show that the Novikov conjecture holds for geometrically discrete subgroups of the group of volume preserving diffeomorphisms of a closed smooth manifold. This result is inspired by Connes' theorem that the Novikov conjecture holds for higher signatures associated to the Gelfand-Fuchs classes of groups of diffeormorphisms.

연구 동기 및 목표

• 적합한 힐버트-하다마르드 공간에 대해 적절하고 등급이 있는 이sovmetric 작용을 하는 이산 군에 대해 노비코프 추측을 확립하는 것.
• 유한차원 비양성적 곡률을 갖는 다양체에 작용하는 군에 대해 카스파로프의 결과를 무한차원 유사체로 확장하는 것.
• 닫힌 매끄러운 다양체 위의 부피를 보존하는 미분동형사상군의 기하학적으로 이산 부분군에 대해 유리수 강한 노비코프 추측을 증명하는 것.
• 무한차원 메트릭 공간에 대한 등급이 있는 등급 작용을 분석하기 위해 $C^*$-대수와 $KK$-이론을 사용한 비환원기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• $L^2$-공간이 힐버트-하다마르드 공간으로의 사상에 대해 곡률 장벽을 통한 방법으로, 그것이 리만-힐버트 공간으로 등급이 있을 수 없음을 보여주는 것.

제안 방법

• 적합한 힐버트-하다마르드 공간을 완비되고 단순연결되며, CAT(0) 메트릭 공간으로 정의하며, 유한차원 리만 다양체에 등급이 있는 닫힌 볼록 부분집합의 밀도 있는 에크스하우스트를 갖는다.
• 힐버트-하다마르드 공간 $M$에 대해 $L^2$-리만 메트릭을 통해 기하학적 구조를 코딩하는 $C^*$-대수 $\mathcal{A}(M)$를 구성한다.
• 군의 $M$ 위에서의 등급 작용을 통해 $\mathcal{A}(M)$ 위의 자동형사를 유도하며, 군 작용과 $C^*$-대수의 $K$-이론을 연결한다.
• 측정 가능한 분할과 측정 가능한 집합에 색인된 벡터장들을 사용하여 $M$으로의 사상에 대한 $L^2$-공간의 접선 공간의 구조를 분석한다.
• $L^2$-공간의 접선 공간 내에서 곡률 텐서가 $-\infty$로 발산하는 벡터들의 수열을 구성하며, 만약 공간이 리만-힐버트 공간이었다면 연속성이 깨지므로 모순이 된다.
• 리만 곡률 텐서를 통한 곡률 장벽을 적용하여 $L^2(Y,\mu,M)$가 리만-힐버트 공간으로 등급이 있을 수 없음을 보이며, 이는 비통합 가능성과 주요 정리의 지지가 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 등급 작용을 갖는 군이 비가역적이고 무한차원 곡률이 음수인 메트릭 공간에 대해 노비코프 추측을 확장할 수 있는가?
• RQ2 부피를 보존하는 미분동형사상군의 기하학적으로 이산 부분군은 유리수 강한 노비코프 추측을 만족하는가?
• RQ3 힐버트-하다마르드 공간으로의 사상에 대한 $L^2$-공간이 특정 기하 조건 하에서 리만-힐버트 공간으로 등급이 가능한가?
• RQ4 비양성적 곡률을 갖는 공간으로의 사상에 대한 $L^2$-공간에서 곡률 기반의 장벽을 사용하여, 그것이 리만-힐버트 공간으로의 통합이 불가능함을 증명할 수 있는가?
• RQ5 적합한 힐버트-하다마르드 공간에 대해 적절한 등급 작용을 갖는 군과 유리수 바움-컨스 어셈블리 맵의 단사성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 어떤 이산 군이 적합한 힐버트-하다마르드 공간에 대해 적절하고 등급이 있는 등급 작용을 하면, 그에 대해 유리수 강한 노비코프 추측이 성립한다.
• 그러한 군에 대해 유리수 바움-컨스 어셈블리 맵 $\mu: K_*(B\Gamma) \otimes \mathbb{Q} \to K_*(C^*_r\Gamma) \otimes \mathbb{Q}$ 는 단사적이다.
• 힐버트-하다마르드 공간 $M$으로의 사상에 대한 $L^2$-공간 $L^2(Y,\mu,M)$ 는 곡률 발산을 통해 리만-힐버트 공간으로 등급이 될 수 없다.
• $L^2(Y,\mu,M)$ 의 접선 공간 내에서 곡률 텐서를 생성하는 벡터들의 수열은 그의 부분곡률이 $-\infty$로 수렴하며, 이는 리만-힐버트 공간의 구조에 요구되는 연속성 조건을 위반한다.
• 닫힌 매끄러운 다양체 위의 부피를 보존하는 미분동형사상군의 기하학적으로 이산 부분군에 대해 노비코프 추측이 성립한다.
• 이 결과는 군이 유한차원, 단순연결, 비양성적 곡률을 갖는 다양체에 작용하는 경우에 대해 카스파로프의 정리의 무한차원 유사체를 제공한다.