[논문 리뷰] The number of 1...d-avoiding permutations of length d+r for SYMBOLIC d but numeric r

Shalosh B. Ekhad, Nathaniel Shar외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 09.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기호적 $ d $ 와 수치적 $ r $ 에 대해 길이 $ d + r $ 의 순열 중 길이 $ d $ 의 증가 부분수열을 피하는 순열의 수를 계산하는 기호적-계산적 방법을 제시한다. 로빈슨-셰nst레드 대응과 정교화된 후크 길이 공식을 사용하여, 증가 부분수열 길이 $ d $ 를 포함하는 이러한 순열의 수인 $ B_d(d+r) $ 에 대한 명시적 다항식 표현을 유도한다. 또한 아이라 게젤의 행렬식 공식과 잘라낸 베셀 함수를 활용하여 $ d \leq 20 $ 에 대해 $ G_d(n) $ 의 첫 100개 항을 효율적으로 계산한다. 주요 기여는 브루트 포스 수열 세기의 한계를 넘어서 이러한 조합적 수열의 정확한 기호적 계산을 가능하게 하는 알고리즘적 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We use the Robinson-Schensted correspondence, followed by symbol-crunching, in order to derive explicit expressions for the quantities mentioned in the title. We follow it by number crunching, in order to compute the first terms of these sequences. As an encore, we cleverly implement Ira Gessel's celebrated determinant formula for the generating functions of these sequences, to crank out many terms. This modest tribute is dedicated to one of the greatest enumerators alive today (and definitely the most modest one!), Ira Martin Gessel, who is turning 64 years-old today

연구 동기 및 목표

• 기호적 $ d $ 와 고정된 수치적 $ r $ 에 대해 길이 $ d + r $ 의 순열 중 길이 $ d $ 의 증가 부분수열을 피하는 순열의 수를 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 직접적인 계승 계산의 한계를 넘어서 기호 대수와 생성함수를 활용하여 조합적 수열의 범위를 확장하는 것.
• 길이 $ n $ 의 $ d $-증가 부분수열을 피하는 순열을 세는 수열 $ G_d(n) $ 의 첫 100개 항을 계산하는 효율적인 알고리즘 구현을 제공하는 것, $ d \leq 20 $ 에 대해.

제안 방법

• 순열을 표준 양의 표준 양의 표준 표와 연결하기 위해 로빈슨-셰nst레드 대응을 사용하고, $ B_d(d+r) $ 를 최소 $ d $ 개의 행과 $ d + r $ 개의 셀을 가진 양의 표에 대한 합으로 표현한다.
• 후크 길이 공식을 적용하여, 형상 $ \lambda $ 에 대한 표준 양의 표의 수인 $ f_\lambda $ 를 $ d $ 의 유리 함수로 표현함으로써 기호적 단순화를 가능하게 한다.
• 최대 $ r $ 개의 셀을 가진 核 표 $ \mu $ 를 통해 크기가 $ d + r $ 이고 최소 $ d $ 개의 행을 가진 양의 표를 매개변수화함으로써 고정된 $ r $ 에 대해 유한한 열거를 가능하게 한다.
• 후크 길이의 곱을 $ f_\mu $, $ d $ 에 대한 다항식, 그리고 내림 패딩 팩토리얼로 표현하여 $ f_\lambda^2 $ 에 대한 다항식을 유도한다.
• 수정된 베셀 함수 $ I_{|i-j|}(2x) $ 를 포함하는 아이라 게젤의 행렬식 공식을 사용하고, 차수 $ 2N $ 으로 잘라내어 생성함수 $ \sum_{n \geq 0} \frac{G_d(n)}{n!^2} x^{2n} $ 를 계산한다.
• 컴퓨터 대수 시스템(Maple)에서 사용자 정의 링 구조를 사용하여 나눗셈이 없는 행렬식 알고리즘을 구현하여, $ G_d(n) $ 의 첫 $ N $ 개 항에 대해 기호적이고 효율적인 행렬식 계산을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $ r $ 에 대해, 길이 $ d + r $ 의 순열 중 길이 $ d $ 의 증가 부분수열을 포함하는 순열의 수인 $ B_d(d+r) $ 는 기호적 $ d $ 에 대한 다항식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 $ G_d(n) $, 즉 길이 $ n $ 의 순열 중 길이 $ d $ 의 증가 부분수열을 피하는 순열의 수를 세는 생성함수의 구조는 어떠한가?
• RQ3 큰 $ d $ 에 대해, 컴퓨터 대수 시스템에서 게젤의 행렬식 공식을 어떻게 효율적으로 구현하여 $ G_d(n) $ 의 첫 $ N $ 개 항을 계산할 수 있는가?
• RQ4 기호적 행렬식 계산과 잘라낸 베셀 함수를 사용하여 $ d \leq 20 $ 에 대해 $ G_d(n) $ 의 첫 100개 항을 계산하는 것은 가능한가?
• RQ5 현재의 기호적 방법을 사용하여 $ 2d+1 $ 항을 초월해 $ G_d(n) $ 의 계산 복잡도는 어떠한가?

주요 결과

• $ r = 0 $ 에서 $ 5 $ 까지의 경우, 길이 $ d + r $ 의 순열 중 길이 $ d $ 의 증가 부분수열을 포함하는 순열의 수인 $ B_d(d+r) $ 에 대한 명시적 다항식 표현을 유도하였으며, 차수는 2에서 10 사이이다.
• $ B_d(d+1) $ 의 다항식은 $ d^2 + 1 $ 이고, $ B_d(d+2) $ 는 $ \frac{1}{2}d^4 + d^3 + \frac{1}{2}d^2 + d + 3 $ 이다. 이는 $ d $ 에 대해 체계적인 대수적 구조를 보여준다.
• 이 방법을 통해 $ d \leq 20 $ 에 대해 $ G_d(n) $ 의 첫 100개 항을 계산할 수 있었으며, $ d = 20 $ 의 경우 Maple 패키지 Gessel64 를 사용해 4507초가 소요되었다.
• $ G_3(n) $ 은 카탈란 수(A000108) 와 일치하고, $ G_4(n) $, $ G_5(n) $ 등은 알려진 정수 수열(A005802, A047889 등)과 일치하여 방법의 정확성을 검증한다.
• Maple 에서 잘라낸 베셀 함수와 사용자 정의 링을 사용한 게젤의 행렬식 공식 구현은 나눗셈이 없는 기호적 행렬식 계산을 가능하게 하여, 단순한 방법의 지수적 팽창을 피한다.
• 저자들은 $ d \leq 20 $ 이고 $ n \leq 100 $ 인 경우 $ G_d(n) $ 을 성공적으로 계산하여, 이전 접근법의 $ 2d+1 $ 항 한계를 초월한 메서드의 확장성을 입증한다.