[논문 리뷰] The number of closed ideals in $L(L_p)$

William B. Johnson, Gideon Schechtman|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 25.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 일 때, Banach 대수 $ L(L_p) $ 가 정확히 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 서로 다른 닫힌 아이디얼을 포함한다는 것을 증명함으로써, 오랫동안 남아있던 작도 이론 분야의 문제를 해결한다. 저자들은 Rosenthal의 $ \mathfrak{X}_q $ 공간 ($ 1 < q < 2 $) 상에서 정의된 특수한 연산자와 그 점점 커지는 성질을 이용하여, 기존에 알려진 아이디얼들(예: 엄격한 단일 연산자들을 포함하는 아이디얼 포함)과 구별되는 연속체 수준의 큰 비특이 아이디얼의 새로운 클래스를 구성한다.

ABSTRACT

We show that there are $2^{2^{\aleph_0}}$ different closed ideals in the Banach algebra $L(L_p(0,1))$, $1

연구 동기 및 목표

• 1978년 A. Pietsch의 책에서 제기된, $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 일 때 $ L(L_p) $ 의 닫힌 아이디얼 수에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 엄격한 단일 연산자들에 포함되지 않으며, 비힐베르트 하위공간 위로의 사영을 포함하지 않는 큰 닫힌 아이디얼을 $ L(L_p) $ 에 구성하기 위해.
• 무작위 기저를 가진 바나흐 공간이 특정한 점진적 행동을 갖는 단일 연산자를 가질 경우, $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 닫힌 아이디얼을 가질 수 있는 일반적인 기준을 수립하기 위해.
• Rosenthal의 $ \mathfrak{X}_q $ 공간 ($ 1 < q < 2 $) 가 그러한 연산자를 수용할 수 있음을 보여, 전체 아이디얼 연속체를 구성할 수 있음을 보장하기 위해.
• 이중성과 보완성을 이용하여, $ L(L_p) $ 가 정확히 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 작은(엄격한 단일) 닫힌 아이디얼을 포함함을 증명하기 위해.

제안 방법

• $ \mathbb{N} $ 의 무한 부분집합들로 이루어진 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 가족 $ \mathcal{C} $ 를 정의하고, 이들은 상호 간에 유한하게만 만남을 이룸으로써 아이디얼을 인덱싱함.
• $ \mathfrak{X}_q $ 상에서 점점 커지는 성질을 갖는 특수한 연산자 $ T $ 를 정의하고, $ \alpha \in \mathcal{C} $ 에 따라 인덱싱된 연산자 $ T_\alpha $ 가 서로 다른 닫힌 아이디얼을 생성함을 보장함.
• $ \gamma_2(T) $ 의 인수분해 상수와 바나흐-마자르 거리를 사용하여, $ \mathfrak{X}_q $ 의 블록 하위공간에서 $ T $ 의 점점 커지는 행동을 제어함.
• $ \ell_q $ 와 동형인 보완된 하위공간 $ Y \subset \mathfrak{X}_q $ 를 구성하고, 블록 하위공간에서의 노름과 구조를 유지하기 위해 $ U: Y \to \mathfrak{X}_q $ 를 항등사상으로 정의함.
• 이중성과 보완성을 적용: $ \mathfrak{X}_q \subset L_q $ 이고, $ 1/p + 1/q = 1 $ 이므로 $ L_p $ 는 $ L_q $ 와 이중임을 이용하여 결과를 $ \mathfrak{X}_q $ 에서 $ L_p $ 로 확장함.
• 엄격한 단일 연산자들이 특정 아이디얼의 폐포에 포함되지 않는다는 모순을 이용하여, 구성된 아이디얼들이 엄격한 단일 연산자들을 포함하지 않음을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 일 때, $ L(L_p) $ 는 연속체 수준의 닫힌 아이디얼을 포함하는가?
• RQ2 $ L(L_p) $ 에서 큰 닫힌 아이디얼을 구성할 수 있는가? 이는 엄격한 단일 연산자들에 포함되지 않으며, 비힐베르트 하위공간 위로의 사영을 포함하지 않는가?
• RQ3 무작위 기저를 가진 바나흐 공간이 특정한 점진적 행동을 갖는 단일 연산자를 가질 경우, $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 닫힌 아이디얼을 가질 수 있는 일반적인 기준이 존재하는가?
• RQ4 구성된 $ L(L_p) $ 의 아이디얼들은 엄격한 단일 연산자들을 포함하는가?
• RQ5 $ L(L_p) $ 는 얼마나 많은 작은(엄격한 단일) 닫힌 아이디얼을 포함하는가?

주요 결과

• $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 일 때, 바나흐 대수 $ L(L_p) $ 는 정확히 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 서로 다른 닫힌 아이디얼을 포함한다.
• 구성된 아이디얼들은 크기는 크지만 엄격한 단일 연산자들에 포함되지 않으며, $ \ell_p $ 와 동형인 하위공간 위로의 사영도 포함하지 않는다.
• 이 아이디얼들은 $ \overline{\Gamma_2}(L_p) $, 즉 힐베르트 공간을 통해 인수분해되는 연산자들의 폐포에 포함되지 않으며, 실제로 $ \overline{\Gamma_2}(L_p) $ 는 엄격한 단일 연산자들을 포함하지 않는다.
• $ 1 < q < 2 $ 일 때, 공간 $ \mathfrak{X}_q $ 는 $ L(\mathfrak{X}_q) $ 에서 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 서로 다른 아이디얼을 생성할 수 있는 요구 조건을 만족하는 연산자 $ T $ 를 수용한다.
• 이중성과 보완성을 통해 동일한 결과가 $ L(L_p) $, $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 에 대해서도 성립한다.
• $ L(L_p) $ 는 또한 정확히 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 개의 작은 닫힌 아이디얼(즉, 엄격한 단일 연산자)을 포함하며, 이는 추가적인 열린 문제를 해결한다.