[논문 리뷰] The number of composition factors of order $p$ in completely reducible groups of characteristic $p$

Michael Giudici, S. P. Glasby외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 25.

Finite Group Theory Research참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 $ p $ 의 유한체 위에서 완전 가역 선형군에서 순서 $ p $ 의 구성 인자의 수에 대한 상계를 확립한다. 아쉬바처의 분류와 귀납법을 사용하여 $ c_p(G) \bigackslashvert \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ 를 증명하며, 여기서 $ \varepsilon_q \in \{1, \frac{p}{p-1}, \frac{4}{3}\} $ 이고, 모든 $ q $ 에 대해 무수히 많이 최적임을 보인다.

ABSTRACT

Let $q$ be a power of a prime $p$ and let $G$ be a completely reducible subgroup of $\\mathrm{GL}(d,q)$. We prove that the number of composition factors of $G$ that have prime order $p$ is at most $(\\varepsilon_q d-1)/(p-1)$, where $\\varepsilon_q$ is a function of $q$ satisfying $1\\leqslant\\varepsilon_q\\leqslant 3/2$. For every $q$, we give examples showing this bound is sharp infinitely often.

연구 동기 및 목표

• 완전 가역 $ \mathrm{GL}(d, q) $ 부분군에서 순서 $ p $ 의 구성 인자의 최대 수를 결정하는 것, 여기서 $ q = p^f $.
• 순서 $ p $ 의 구성 인자 수인 $ c_p(G) $ 에 대한 날것 있는 상계를 $ d $, $ p $, 그리고 함수 $ \varepsilon_q $ 에 따라 설정하는 것.
• 모든 소수 거듭제곱 $ q $ 에 대해 이 상계가 무수히 많이 최적임을 보여, $ \varepsilon_q $ 의 최적성 증명하는 것.
• 자연 모듈러의 구성 계열에서의 구성 인자 수를 고려해 결과를 $ G/O_p(G) $ 로 확장하여, 자연 모듈러의 구성 인자 수에 따라 정밀한 상계를 제공하는 것.

제안 방법

• 자연 모듈러의 차원인 $ d $ 에 대한 귀납법을 적용하고, 클리포드 정리와 완전 가역 군의 성질을 사용한다.
• Aschbacher의 $ \mathrm{GL}(d, q) $ 부분군 분류를 활용하여 증명을 경우로 나누며, 특히 비기하적 작용을 하는 프로젝티브로 거의 단순인 군을 포함하는 $ \mathcal{C}_9 $ 케이스를 다룬다.
• Legendre의 공식을 통해 계승과 군의 순서에서 $ p $-부분에 대한 추정을 사용: $ \log_p(r!)_{p} \leq \frac{r-1}{p-1} $.
• 서브노멀 계열을 통한 구성 인자의 구조 분석과 함께, $ c_p(G) = \sum c_p(G_{i-1}/G_i) $ 를 이용한다.
• 자연 모듈러의 구성 인자 $ W_i $ 에 대해 $ \phi: G \to \prod \mathrm{GL}(W_i) $ 의 준동형을 이용하여 $ c_p(G/O_p(G)) $ 와 각 기약 몫에 대한 $ c_p(G_i) $ 합의 관계를 규명한다.
• 특성 $ p $ 와 $ f $ 에 따라 $ \varepsilon_q $ 를 정의하고, 이 선택이 최적임을 증명한다: $ \varepsilon_q = \frac{4}{3} $ 이면 $ p=2 $ 이고 $ f $ 가 짝수일 때, $ \frac{p}{p-1} $ 이면 $ p $ 가 페르마 소수일 때, 그 외에는 $ 1 $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 가역 $ \mathrm{GL}(d, q) $ 부분군에서 순서 $ p $ 의 구성 인자가 최대 몇 개인가?
• RQ2 상수 $ \varepsilon_q $ 가 $ q = p^f $ 에서의 지수 $ f $ 에 의존하지 않고도 상계를 만들 수 있는가? 만약 가능하면 최적의 상수 $ \varepsilon_q $ 는 무엇인가?
• RQ3 상계 $ c_p(G) \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ 는 모든 $ d $ 와 $ q $ 에 대해 무수히 많이 최적인가? 그리고 $ \varepsilon_q $ 는 최적인가?
• RQ4 자연 모듈러의 구성 계열의 구조는 $ G/O_p(G) $ 의 $ p $-순서 구성 인자의 수에 어떻게 影향을 미치는가?
• RQ5 만약 $ G $ 가 절대 기약이거나 중심 곱과 사영을 고려할 경우 상계를 개선할 수 있는가?

주요 결과

• 자연 모듈러의 $ r $ 개의 기약 성분을 가진 완전 가역 부분군 $ G \leq \mathrm{GL}(d, q) $ 에서 순서 $ p $ 의 구성 인자의 수는 $ \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ 이하이며, 여기서 $ \varepsilon_q $ 는 $ p $ 와 $ f $ 에 따라 정의된다.
• 이 상계는 모든 소수 거듭제곱 $ q $ 에 대해 무수히 많이 최적이다. 즉, $ \varepsilon_q $ 는 향상될 수 없다.
• 특히 $ p = 2 $ 이고 $ f $ 가 짝수일 경우 $ \varepsilon_q = \frac{4}{3} $ 이며, 이 값은 최적이다.
• 페르마 소수 $ p $ 에 대해서는 $ \varepsilon_q = \frac{p}{p-1} $ 이며, 이는 최선의 가능하다.
• 그 외의 모든 경우 $ \varepsilon_q = 1 $ 이며, 상계 $ \frac{d - r}{p - 1} $ 는 무수히 많은 경우에 최적이다.
• 보조정리 9 는 결과를 $ G/O_p(G) $ 로 확장하여 $ c_p(G/O_p(G)) \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p - 1} $ 를 보여주며, 여기서 $ r $ 은 자연 모듈러의 구성 계열에서의 구성 인자 수이다.