[논문 리뷰] The number of cycles of specified normalized length in permutations

Michael Lugo|ArXiv.org|2009. 09. 16.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 n → ∞ 일 때 랜덤 순열에서 정규화된 길이를 가진 고리의 수의 점근적 분포를 유도한다. 1/(k+1) ≤ γ < δ ≤ 1/k 인 구간 [γn, δn] 에서는 이 분포가 Poisson( log(δ/γ) ) 분포의 처음 k개의 모멘트와 일치함을 보여준다. 일반적인 γ, δ 에 대해서는 극한 분포가 존재하며, 초입방체의 교차 영역에 대한 적분으로 기술되며, 분석적으로 해를 구할 수 없지만 계산을 위한 재귀 관계가 존재한다.

ABSTRACT

We compute the limiting distribution, as n approaches infinity, of the number of cycles of length between gamma n and delta n in a permutation of [n] chosen uniformly at random, for constants gamma, delta such that 1/(k+1) &lt;= gamma &lt; delta &lt;= 1/k for some integer k. This distribution is supported on {0, 1, ... k} and has 0th, 1st, ..., kth moments equal to those of a Poisson distribution with parameter log (delta/gamma). For more general choices of gamma, delta we show that such a limiting distribution exists, which can be given explicitly in terms of certain integrals over intersections of hypercubes with half-spaces; these integrals are analytically intractable but a recurrence specifying them can be given. The results herein provide a basis of comparison for similar statistics on restricted classes of permutations.

연구 동기 및 목표

• n → ∞ 일 때 [n] 의 균일한 랜덤 순열에서 [γn, δn] 의 길이를 가진 고리의 수의 점근적 분포를 결정하는 것.
• 이 분포가 Poisson( log(δ/γ) ) 분포의 처음 k개의 모멘트와 일치하는 조건을 기술하는 것.
• 일반적인 γ, δ 에 대해 극한 분포의 명시적 표현을 제공하는 것(다만 분석적으로 해를 구할 수 없음).
• γ 와 δ 가 동일한 구간 [1/(k+1), 1/k] 에 있을 경우, 분포의 모멘트를 계산하기 위한 재귀 관계를 유도하는 것.
• 고리 길이가 모두 홀수이거나 모두 짝수인 제한된 순열 클래스에서의 고리 통계량 비교를 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 고리 수의 계승적 모멘트를 생성함수를 통해 다루며, 고리 수에 따라 가중치가 부여된 순열의 지수 생성함수를 활용한다.
• 논문의 보조정리 1을 적용하여 고리 수의 공동 계승적 모멘트를 계산하며, 고리 공간이 충분할 경우 이들이 독립적인 포아송 변수의 모멘트와 일치함을 보여준다.
• 총 고리 수의 r차 계승적 모멘트를 길이 조합의 합으로 표현하며, 이는 극한에서 다변수 적분으로 이어진다.
• 극한 계승적 모멘트를 단체 z₁ + ⋯ + zᵣ ≤ 1 이며 zᵢ ∈ [γ, δ] 인 영역에서의 적분으로 표현하며, ∫ (1/(z₁⋯zᵣ)) dz₁⋯dzᵣ 로 주어진다.
• 적분 영역의 구조와 초평면과의 교차를 기반으로 Qₖ(γ) 의 재귀 관계를 도입한다.
• 역 라플라스 변환과 생성함수 기법을 사용하여 분포를 부크스타브 및 딕맨 함수와 연결하며, 수론적 결과와 유사성을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일한 랜덤 순열에서 n → ∞ 일 때 [γn, δn] 의 길이를 가진 고리의 수의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ2 γ 와 δ 가 어떤 조건을 만족할 경우 이 점근적 분포가 Poisson( log(δ/γ) ) 분포의 처음 k개의 모멘트와 일치하는가?
• RQ3 극한 분포는 닫힌 형태로 표현될 수 있는가, 아니면 분석적으로 해를 구할 수 없는가? 만약 그렇다면 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 1/k 와 같은 임계점에서 극한 분포의 매끄러움 정도는 어떻게 변하는가?
• RQ5 순열에서의 고리 수 분포와 정수 인수분해에서의 유사 분포(예: 부크스타브 및 딕맨 함수) 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 1/(k+1) ≤ γ < δ ≤ 1/k 일 때, [γn, δn] 의 고리 수의 점근적 분포는 0차부터 k차까지의 모멘트가 모두 Poisson( log(δ/γ) ) 분포와 일치한다.
• 극한 r차 계승적 모멘트는 적분 ∫_{z₁+⋯+zᵣ≤1, zᵢ∈[γ,δ]} (1/(z₁⋯zᵣ)) dz₁⋯dzᵣ 로 주어진다.
• γ 와 δ 가 동일한 구간 [1/(k+1), 1/k] 에 있을 경우, 극한 분포는 {0, 1, ..., k} 에서만 지지되며, 이는 가능한 이러한 고리의 최대 개수를 반영한다.
• 분포 함수 Qₖ(γ) 는 γ = 1/k 에서 Cᵏ 이지만 Cᵏ⁺¹ 는 아니며, 이는 이러한 점에서 매끄러움이 떨어짐을 나타낸다.
• 일반적인 γ, δ 에 대해 극한 분포는 존재하며, 초입방체 교차의 구조에서 유도된 재귀 관계로 기술되지만, 기본 함수로 단순화될 수 없다.
• 결과는 Ewens 분포로도 확장되며, 극한 고리 수가 매개변수 λ = ∫_{γ}^{δ} (1/x)(1−x)^{σ−1} dx 를 가진 준-포아송 분포로 수렴할 것이라는 추측을 제기한다.