[논문 리뷰] The number of non-solutions to an equation in a group and non-topologizable torsion-free groups

Anton A. Klyachko, А. В. Трофимов|ArXiv.org|2004. 11. 07.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 2인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유한생성되며, 순환원소가 없고, 위상화가 불가능한 군 $H$와 그 위에서 정의된 방정정식 $w(x) = 1$을 구성한다. 이 방정식의 해가 되지 않는 유일한 원소는 항등원 뿐이며, 나머지 모든 원소는 해가 된다. 또한 임의의 두 무한 기수 $\bf s$와 $\bf n$에 대해, 정확히 $\bf s$개의 해와 $\bf n$개의 비해를 갖는 군 $G$와 그 위의 방정식이 존재함을 증명하며, 군 이론에서 비위상화 군과 방정식의 해에 관한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

It is shown that, for any pair of cardinals with infinite sum, there exist a group and an equation over this group such that the first cardinal is the number of solutions to this equation and the second cardinal is the number of non-solutions to this equation. A countable torsion-free non-topologizable group is constructed.

연구 동기 및 목표

• 비이산 군 위상에 관한 P. I. Kirku의 질문에 답하기 위해, 가산, 순환원소가 없고 비위상화 가능한 군을 구성하는 것.
• 임의의 두 무한 기수 $\bf s$와 $\bf n$에 대해, 정확히 $\bf s$개의 해와 $\bf n$개의 비해를 갖는 군과 방정식이 존재함을 보여주는 것.
• 군에서 한 원소를 제외한 모든 원소가 해가 되는 단일 방정식의 비해 집합이 될 수 있음을 보여주며, 이는 가능한 한 가장 단순한 분해이다.
• Ol’shanskii의 계층적 표현 방법을 확장하여, 방정식의 해 집합을 특정 조건을 만족하도록 구성하는 군을 만드는 것.

제안 방법

• 차수를 점차 증가시키는 관계자들을 갖는 계층적 표현을 사용하여, 단어와 쌍대원소의 구조를 제어할 수 있는 소취소 조건(R1–R6)을 만족하는 군 $H$를 구성한다.
• 자유군에서 $a$와 $b$에 대한 단어 $v(x)$를 정의하고, $v(1) \neq 1$이 되도록 군 $H$를 구성함으로써, 항등원이 핵심 방정식의 해가 되지 않음을 보장한다.
• 특정 방정식 $[c_1 v([a,x]) c_1^{-1}, v([b,x])] = 1$을 $H$ 위에서 정의하고, 군론적 추론과 쌍대원소 제어를 통해 그 해 집합이 $H \setminus \{1\}$임을 증명한다.
• 레마 1을 적용하여 $\langle a\rangle$ 또는 $\langle b\rangle$에 속하지 않는 원소들이 해가 되도록 하며, $a$, $b$, $c_1$의 비진승 거듭제곱 성질을 이용해 항등원이 해가 되지 않음을 배제한다.
• 초구체적 극한과 Löwenheim–Skolem 정리를 사용하여 유한생성을 임의의 무한 기수로 확장한다.
• 자유곱과 직접곱을 조합하여, 군 내 방정식의 해와 비해의 기수 $\bf s$와 $\bf n$을 임의로 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환원소가 없고 비위상화 가능한 군에서, 한 원소를 제외한 모든 원소가 해가 되는 단일 방정식의 비해 집합이 될 수 있는가?
• RQ2 군 내 방정식의 해 집합과 비해 집합의 기수 조합으로 가능한 것은 무엇인가?
• RQ3 해 집합이 단 한 원소를 제외한 나머지 원소로 이루어진 군을 구성할 수 있는가? (즉, 해 집합이 '단순한 보완'을 이룬다.)
• RQ4 군 내 방정식의 해 집합이 임의의 무한 기수를 가질 수 있으며, 비해 집합 역시 임의의 무한 기수를 가질 수 있는가?
• RQ5 계층적 표현을 어떻게 활용하여 특정 구조적 성질을 갖는 군 내 방정식의 해 집합을 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 유한생성되며, 순환원소가 없고, 비위상화 가능한 군 $H$가 존재하며, 방정식 $w(x) = 1$의 유일한 비해는 항등원 뿐이다.
• 임의의 두 무한 기수 $\bf s$와 $\bf n$에 대해, 크기가 $\bf s + n$인 군 $G$와 그 위의 방정식 $u(x) = 1$이 존재하여, 정확히 $\bf s$개의 해와 $\bf n$개의 비해를 갖는다.
• $H$ 위에서의 방정식 $[c_1 v([a,x]) c_1^{-1}, v([b,x])] = 1$의 해 집합은 $H \setminus \{1\}$이며, 이는 주요 정리를 증명한다.
• 구성은 엄격한 소취소 조건(R1–R6)을 만족하는 관계자들을 갖는 계층적 표현에 기반하며, 쌍대원소와 단어 길이를 제어한다.
• 생성자들의 비진승 거듭제곱 성질과 관계자의 구조를 통해 군 $H$가 순환원소가 없음을 보였다.
• 결과적으로, 가산 군에서 한 원소를 제외한 모든 원소가 비해가 되는 단일 방정식의 비해 집합이 존재함을 의미하며, 이는 가능한 한 가장 단순한 분해이다.