[논문 리뷰] The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor

Salim Ali Altuğ, Arul Shankar외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수렴에 따라 순서를 매긴 4차 $D_4$-체의 渐近 수를 결정하며, 주요 항에 대한 명시적 질량 공식을 수립한다. $D_4$의 외부 자기동형을 활용하고, 산술 불변량 이론과 L-함수 방법을 조합함으로써, Kedlaya와 Wood의 히وري스틱을 검증하고, 제곱근이 큰 이차 부분체의 판별식을 가진 체를 세는 데 어려움을 극복하는 정밀한 渐近 값을 도출한다. 이는 제수기반의 판별식으로 순서를 매긴 이차 체의 반류군과 좁은 반류군의 4차 원소를 세는 데 응용된다.

ABSTRACT

We consider families of number fields of degree 4 whose normal closures over $\mathbb{Q}$ have Galois group isomorphic to $D_4$, the symmetries of a square. To any such field $L$, one can associate the Artin conductor of the corresponding 2-dimensional irreducible Galois representation with image $D_4$. We determine the asymptotic number of such quartic $D_4$-fields ordered by conductor, and compute the leading term explicitly as a mass formula, verifying heuristics of Kedlaya and Wood. Additionally, we are able to impose any local splitting conditions at any finite number of primes (sometimes, at an infinite number of primes), and as a consequence, we also compute the asymptotic number of order 4 elements in class groups and narrow class groups of quadratic fields ordered by discriminant. Traditionally, there have been two approaches to counting quartic fields, using arithmetic invariant theory in combination with geometry-of-number techniques, and applying Kummer theory together with L-function methods. Both of these strategies fall short in the case of $D_4$-fields ordered by conductor since counting quartic fields containing a quadratic subfield with large discriminant is difficult. However, when ordering by conductor, we utilize additional algebraic structure arising from the outer automorphism of $D_4$ combined with both approaches mentioned above to obtain exact asymptotics.

연구 동기 및 목표

• 수렴이 $X$ 이하인 4차 $D_4$-체의 수를 渐近적으로 결정함으로써, 이전의 판별식 기반 순서의 결과를 개선한다.
• Kedlaya와 Wood의 $D_4$-체에 대한 히وري스틱을 주요 항에 대한 명시적 질량 공식을 유도하여 검증한다.
• 지정된 소수들에서의 국소 분할 조건을 유한하거나 무한하게 포함할 수 있는 카운팅 방법을 확장함으로써 반류군 통계에의 응용을 가능하게 한다.
• 판별식 기반으로 순서를 매긴 이차 체의 반류군과 좁은 반류군에서의 4차 원소의 수를 渐近적으로 계산한다.
• 판별식 기반과 수렴 기반의 카운팅 간의 모순을 해결하기 위해, 수렴 기반 상수 값이 일관된 오일러 곱 질량 공식으로부터 유도됨을 보여준다.

제안 방법

• 저자들은 $D_4$를 이미지로 가지는 2차원의 기약 갈루아 표현의 아르틴 수렴을 체를 순서를 매기는 주요 불변량으로 사용한다.
• 산술 불변량 이론과 수론 기하 기법, L-함수 방법을 조합하고, $D_4$의 외부 자기동형을 활용하여, 이차 부분체의 판별식이 큰 체를 세는 데 어려움을 극복한다.
• 핵심적 혁신은 유한 및 무한 소수에서의 국소 사양 $\Sigma^{(\bullet)}$ 를 사용하여 분할 조건을 도입함으로써, 비분할 확장과 반류군 원소를 제어할 수 있도록 하는 것이다.
• 각 소수에서 갈루아 군의 구조 $D_4$와 호환되는 안정적이고 타당한 국소 조건 $(\rho_p, \rho_p')$ 의 집합을 구성하는 것이 방법의 핵심이다.
• 점근적 수는 밀도 계산과 제6.7조의 적용을 통해 유도되며, 이는 $D_4$-체의 수와 반류군 자료 사이의 연결을 맺는다.
• 주요 항은 소수에 대한 오일러 곱으로 표현되며, $\prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right)$ 로 표현되며, 이는 질량 공식으로서 확인된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 서명 (0,2), (1,1), (2,0)에 대해, 수렴이 $X$ 이하인 $D_4$-4차 체의 수는 어떻게 渐近적으로 표현되는가?
• RQ2 수렴 기반으로 순서를 매긴 $D_4$-체의 점근적 수에서 주요 상수가 질량 공식으로 표현될 수 있는가? 이는 Kedlaya와 Wood의 히وري스틱을 검증하는 데 기여한다.
• RQ3 수렴 기반의 $D_4$-체 카운팅은 이차 체의 반류군과 좁은 반류군에서의 4차 원소 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 유한하거나 무한한 소수에서의 국소 분할 조건을 카운팅에 통합할 수 있으며, 그 결과로 도출되는 점근적 수는 무엇인가?
• RQ5 왜 판별식 기반 상수와 수렴 기반 상수가 다를까? 그리고 후자는 일관된 오일러 곱으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 수렴이 $X$ 이하인 완전 실수 $D_4$-체의 수는 $\frac{1}{4} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$ 로 점근적으로 표현된다.
• 수렴이 $X$ 이하인 복소수 $D_4$-체의 수는 $\frac{3}{8} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$ 로 점근적으로 표현된다.
• 수렴이 $X$ 이하인 완전 복소수 $D_4$-체의 수는 $\frac{1}{8} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$ 로 점근적으로 표현된다.
• 점근적 수에서 주요 상수가 질량 공식으로서 확인되었으며, 이는 $D_4$-체에 대한 판별식 기반과 수렴 기반의 카운팅 간의 모순을 해결한다.
• 이 방법은 특정 국소 분할 행동을 가진 $D_4$-체를 세는 데 가능하게 하여, 판별식 기반으로 순서를 매긴 이차 체의 반류군에서의 4차 원소의 점근적 수를 계산할 수 있다.
• 실수 이차 체의 좁은 반류군에서의 4차 원소에 대한 점근적 수는 $\Sigma^{(\text{c})}$-조건을 통해 유도되었으며, 이는 반류군 이론과 계급체 이론, 계급 이론과의 일관성을 확인한다.