[논문 리뷰] The number of singular vector tuples and uniqueness of best rank one approximation of tensors

Shmuel Friedland, Giorgio Ottaviani|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 31.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 복소 텐서의 단일 벡터 튜플 수를 규명하고, 대수기하학과 체른 클래스 계산을 통해 거의 모든 실수 텐서에 대해 최적의 저질서 근사가 유일함을 증명한다. 이는 순위-일치 및 부분 대칭 케이스를 포함한다. 정확한 공식을 제공하며, 미묘한 일반성 조건 하에 최적의 저질서 근사가 거의 확실히 유일하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we discuss the notion of singular vector tuples of a complex valued $d$-mode tensor of dimension m_1 x ... x m_d. We show that a generic tensor has a finite number of singular vector tuples, viewed as points in the corresponding Segre product. We give the formula for the number of singular vector tuples. We show similar results for tensors with partial symmetry. We give analogous results for the homogeneous pencil eigenvalue problem for cubic tensors, i.e. m_1=...=m_d. We show uniqueness of best approximations for almost all real tensors in the following cases: rank one approximation; rank one approximation for partially symmetric tensors (this approximation is also partially symmetric); rank-(r_1,...,r_d) approximation for $d$-mode tensors.

연구 동기 및 목표

• 임의의 모드와 차원을 가진 일반적인 복소 텐서의 단일 벡터 튜플 수를 결정하는 것.
• 실수 텐서의 최적 순위-일치 근사가 유일해지는 조건을 설정하는 것.
• 유일성 결과를 부분 대칭 텐서와 순위-$(r_1,\ldots,r_d)$ 근사로 확장하는 것.
• 대수적 위상수학 도구를 사용하여 삼차 텐서의 동차 펜슬 고유값 문제를 분석하는 것.
• 대칭 텐서의 최적 저질서 근사가 대칭성을 유지하도록 선택할 수 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• 단일 벡터 튜플을 복소 사영 공간의 곱 속의 점으로 모델링하기 위해 세그레 매핑을 사용한다.
• 벡터 번들의 이론을 적용하고 체른 클래스를 계산하여 특정 번들의 최고 차수 체른 클래스로 단일 벡터 튜플 수를 유도한다.
• 복소 및 실수 체 위에서의 대수기하 기법을 활용하며, 일반성 조건과 자리키 위상수학을 적용한다.
• 최적의 저질서 근사 유일성 문제를 질서 집합의 닫힘 성질과 대수다양체의 교차성 조건으로 환원한다.
• 히르베르트-슈미트 노름을 사용해 최적 근사를 정의하고, 측도론적 추론(거의 확실한 유일성)을 통해 그 유일성을 분석한다.
• 텐서 질서 이론과 편평화 행렬의 소수를 활용하여 일반적 질서 조건을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $m_1 \times \cdots \times m_d$를 가진 일반적인 복소 텐서는 몇 개인가?
• RQ2 실수 텐서의 최적 순위-일치 근사가 유일해지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 원래 텐서가 부분 대칭일 때, 실수 텐서의 최적 순위-$(r_1,\ldots,r_d)$ 근사를 부분 대칭으로 선택할 수 있는가?
• RQ4 동차 펜슬 고유값 문제 하에서 삼차 텐서의 단일 벡터 튜플 수는 얼마인가?
• RQ5 대칭 텐서의 최적 저질서 근사는 동일하게 대칭적일 수 있으며, 거의 모든 경우에서 유일한가?

주요 결과

• 크기 $m_1 \times \cdots \times m_d$인 일반적인 $d$-모드 복소 텐서의 단일 벡터 튜플 수는 세그레 곱 $\mathbb{P}^{m_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{m_d-1}$ 위의 특정 벡터 번들의 최고 차수 체른 클래스로 주어진다.
• 거의 모든 실수 텐서에 대해, 다중선형 질서가 최대인 일반성 조건을 만족할 경우 최적 순위-일치 근사는 유일하다.
• 부분 대칭 텐서의 경우, 동일한 일반성 조건 하에 최적 순위-일치 근사는 유일하며, 대칭으로 선택할 수 있다.
• 실수 텐서의 최적 순위-$(r_1,\ldots,r_d)$ 근사는 차원이 $\sum_{i=1}^d (m_i - r_i) \geq d-1$ 를 만족할 경우 거의 모든 텐서에서 유일하다.
• $m_1 = \cdots = m_d$인 $d$-모드 삼차 텐서의 경우, 단일 벡터 튜플 수는 유한하며 동차 펜슬 고유값 문제를 통해 계산 가능하다.
• 최적의 $\mathbf{r}$-질서 근사를 유일하게 가지는 텐서의 집합은 $\mathbb{R}^{m_1 \times \cdots \times m_d}$의 전체 측도 부분집합이므로 거의 곳곳에서 성립한다.