[논문 리뷰] The number of small blocks in exchangeable random partitions

Jason Schweinsberg|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 09.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 교환 가능 랜덤 분할에서 핵심 渐近적 관계를 확립한다: 만약 $ \{1,\dots,n\} $ 에 제한된 분할의 블록 수 $ K_n $ 이 $ 0 < \alpha < 1 $ 에 대해 확률적으로 $ \Gamma(1-\alpha)n^\alpha \ell(n) $ 로 수렴한다면, 크기 $ r $ 의 블록 수 $ K_{n,r} $ 는 확률적으로 $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! \cdot n^\alpha \ell(n) $ 로 수렴한다. 이 결과는 이전의 거의 확실히 수렴하는 결과를 확률 수렴으로 확장하며, 인구 유전학에서의 공통 공통 조상 과정에 중요한 영향을 미친다.

ABSTRACT

Suppose $Π$ is an exchangeable random partition of the positive integers and $Π_n$ is its restriction to $\{1, ..., n\}$. Let $K_n$ denote the number of blocks of $Π_n$, and let $K_{n,r}$ denote the number of blocks of $Π_n$ containing $r$ integers. We show that if $0 &lt; α&lt; 1$ and $K_n/(n^α \ell(n))$ converges in probability to $Γ(1-α)$, where $\ell$ is a slowly varying function, then $K_{n,r}/(n^α \ell(n))$ converges in probability to $αΓ(r - α)/r!$. This result was previously known when the convergence of $K_n/(n^α \ell(n))$ holds almost surely, but the result under the hypothesis of convergence in probability has significant implications for coalescent theory. We also show that a related conjecture for the case when $K_n$ grows only slightly slower than $n$ fails to be true.

연구 동기 및 목표

• 교환 가능 랜덤 분할에서 블록 수의 기존 거의 확실히 수렴 결과를 확률 수렴으로 확장하기 위해.
• 총 블록 수 $ K_n $ 의 渐진적 성장과 작은 블록 수 $ K_{n,r} $ 간의 기능적 관계를 확립하기 위해.
• 공통 공통 조상 이론에 응용하기 위한 엄밀한 확률론적 기초를 제공하기 위해, 특히 유전적 다양성과 돌연변이 수 모델링에 중점을 두고.
• $ K_n $ 이 $ n $ 과 약간 더 느리게 성장할 경우의 행동에 대한 추측을 해결하기 위해, 제시된 조건 하에서 성립하지 않음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 교환 가능 랜덤 분할을 랜덤 渐진적 빈도 $ (P_j) $ 를 통해 구성하며, $ \Pi $ 는 $ (P_j) $ 가 주어진 조건 하에서 i.i.d. 표본을 취함으로써 정의된다.
• 타우버 정리와 천천히 변화하는 함수 $ \ell(n) $ 의 성질을 적용하여 $ P_j $ 의 尾행동과 $ K_n $ 의 성장 간의 관계를 규명한다.
• 커플링 추론과 모멘트 한계를 활용하여 $ L_n $ (총 공통 공통 조상 수명) 과 $ L_n' $ (자unc된 형태) 간의 차이를 제어하며, 분지에 따라 포isson 돌연변이 과정을 적용한다.
• 체비세프 부등식과 마르코프 부등식을 사용하여 $ K_{n,r} $ 와 돌연변이 수 $ S_n $ 의 확률 수렴을 확립한다.
• $ K_n $ 의 하한을 제시하기 위해 상관 없는 돌연변이 수 $ B_n $ 을 분석하며, $ B_n/n^\alpha \to 0 $ 이 확률적으로 성립함을 보인다.
• 공통 공통 조상 과정의 구조를 활용하며, 돌연변이는 라인저에 대해 $ \theta $ 의 비율로 발생하며, $ S_n $ 은 기댓값이 $ \theta L_n $ 인 조건부 포isson 분포를 따른다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 수렴으로 $ K_n $ 이 $ \Gamma(1-\alpha)n^\alpha \ell(n) $ 로 수렴할 경우, $ K_{n,r} $ 가 $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! \cdot n^\alpha \ell(n) $ 로 수렴하는가? 조건은 무엇인가?
• RQ2 확정적 $ P_j $ 에서의 고전적 거듭제곱 법칙 블록 수 점근적 성질이, 수렴이 오직 확률 수렴일 경우 랜덤 $ P_j $ 로까지 확장 가능한가?
• RQ3 총 수명 $ L_n $ 이 $ n^\alpha \ell(n) $ 으로 성장할 경우, 공통 공통 조상 수명에서 돌연변이 수 $ S_n $ 의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 만약 $ K_n $ 이 $ n $ 과 약간 더 느리게 성장한다면, 이 경우 $ K_{n,r} $ 는 특정한 점근적 형태를 띄게 되는가? 만약 그렇다면, 그 형태는 타당한가?

주요 결과

• 만약 $ 0 < \alpha < 1 $ 에 대해 $ K_n / (n^\alpha \ell(n)) \to \Gamma(1 - \alpha) $ 가 확률적으로 성립한다면, $ K_{n,r} / (n^\alpha \ell(n)) \to \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! $ 도 확률적으로 성립한다.
• 크기 $ r $ 의 블록의 점근적 빈도는 $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! $ 이며, 이는 이전 거의 확실히 수렴 결과를 확률 수렴으로 일반화한 것이다.
• 공통 공통 조상 수명에서의 돌연변이 수 $ S_n $ 는 확률적으로 $ S_n / n^\alpha \to \theta 2^{1-\alpha} (1 - \alpha)^\alpha \pi / \sin(\pi \alpha) $ 로 수렴한다.
• $ (S_n - K_n)/n^\alpha \to 0 $ 이 확률적으로 성립하며, 이는 $ K_n $ 과 $ S_n $ 이 상수 이동을 제외하고 점근적으로 동일함을 의미한다.
• 상관 없는 돌연변이 수 $ B_n $ 은 $ B_n / n^\alpha \to 0 $ 이 확률적으로 성립하며, 이는 $ K_n $ 과 $ S_n $ 의 점근적 동치성을 검증한다.
• 만약 $ K_n $ 이 $ n $ 과 약간 더 느리게 성장할 경우의 추측은 잘못되었음을 입증하였으며, 주어진 조건 하에서는 필요한 점근적 형태가 성립하지 않는다.