[논문 리뷰] The number of subsets of integers with no $k$-term arithmetic progression

József Balogh, Hong Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 10.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 Cameron과 Erdös가 제기한 $k$-AP-free 부분집합의 수에 관한 오랜 쟁의 문제를 해결한다. 무한히 많은 $n$에 대해 이 수가 $2^{O(r_k(n))}$ 이하임을 증명하며, 여기서 $r_k(n)$는 $k$-AP-free 부분집합의 최대 크기이다. 핵심 기여는 크기 $\Theta(r_k(n))$인 집합이 초선형적으로 많은 $k$-항 산술급수를 포함한다는 새로운 초포화 결과를 도출한 것이다. 이 결과는 초그래프 컨테이너 방법을 통해 엄밀한 상한을 도출하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Addressing a question of Cameron and Erd\\Ho s, we show that, for infinitely many values of $n$, the number of subsets of $\\{1,2,\\ldots, n\\}$ that do not contain a $k$-term arithmetic progression is at most $2^{O(r_k(n))}$, where $r_k(n)$ is the maximum cardinality of a subset of $\\{1,2,\\ldots, n\\}$ without a $k$-term arithmetic progression. This bound is optimal up to a constant factor in the exponent. For all values of $n$, we prove a weaker bound, which is nevertheless sufficient to transfer the current best upper bound on $r_k(n)$ to the sparse random setting. To achieve these bounds, we establish a new supersaturation result, which roughly states that sets of size $\\Theta(r_k(n))$ contain superlinearly many $k$-term arithmetic progressions. For integers $r$ and $k$, Erd\\Ho s asked whether there is a set of integers $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, but such that any $r$-coloring of $S$ yields a monochromatic $k$-term arithmetic progression. Ne\\v{s}et\\v{r}il and R\\"odl, and independently Spencer, answered this question affirmatively. We show the following density version: for every $k\\ge 3$ and $\\delta>0$, there exists a reasonably dense subset of primes $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, yet every $U\\subseteq S$ of size $|U|\\ge\\delta|S|$ contains a $k$-term arithmetic progression. Our proof uses the hypergraph container method, which has proven to be a very powerful tool in extremal combinatorics. The idea behind the container method is to have a small certificate set to describe a large independent set. We give two further applications in the appendix using this idea.

연구 동기 및 목표

• Cameron과 Erdös의 추측을 다루며, $[n]$의 $k$-AP-free 부분집합의 점근적 수를 결정하는 것.
• $\Theta(r_k(n))$ 크기의 집합에서 $k$-항 산술급수에 대한 초포화 결과를 확립하는 것.
• 무한히 많은 $n$에 대해 $k$-AP-free 부분집합의 수가 $2^{O(r_k(n))}$ 이하임을 증명하며, 지수 항의 상수를 제외한 경우에 대해 자명한 하한과 일치시킴.
• $(k+1)$-항 AP를 포함하지 않지만, 충분히 밀도 높은 부분집합은 항상 $k$-항 AP를 포함하는 소수의 밀도 높은 부분집합을 구성함으로써, Nešetřil과 Rödl, Spencer의 결과에 대한 밀도 형태를 보여주는 것.

제안 방법

• 초그래프 컨테이너 방법을 사용하여 $k$-AP를 나타내는 초그래프의 독립집합 수를 상한으로 제한한다.
• 새로운 초포화 결과를 확립: 크기가 $\Theta(r_k(n))$인 집합은 크기가 $m$인 집합일 때 $\omega(m)$개 이상의 $k$-항 산술급수를 포함한다.
• 적절히 선택된 매개변수 $\varepsilon = n^{-\gamma/2}$, $\tau = n^{-1/(k-1)+\gamma/2}$를 사용하여 컨테이너당 $k$-AP의 수를 제어한다.
• 소수 집합 $\mathbf{P}_{\leq n}$에서 각 소수를 확률 $p = n^{-1/k}$로 독립적으로 선택하는 확률적 방법을 적용하여, $k$-AP를 다량 포함하면서 $(k+1)$-항 AP가 없는 밀도 높은 집합을 구성한다.
• 마르코프 부등식을 활용해, 무작위 소수 부분집합이 $k$-AP-free인 $m$-집합을 포함하지 않으며 $(k+1)$-AP도 적게 포함할 확률이 양수임을 보이고, 이로써 각 $(k+1)$-AP당 한 개의 원소를 제거하여 원하는 $S'$를 구성한다.
• 그린-타오 정리를 활용해 $\mathbf{P}_{\leq n}$에서 $(k+1)$-AP의 기대 수를 추정함으로써, 무작위 부분집합이 적은 수의 such 급수를 포함함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cameron과 Erdös가 추측한 바와 같이, 무한히 많은 $n$에 대해 $[n]$의 $k$-AP-free 부분집합의 수가 $2^{O(r_k(n))}$ 이하인가?
• RQ2 $\Theta(r_k(n))$ 크기의 집합에서 $k$-AP에 대한 초포화 결과를 확립할 수 있는가? 즉, 초선형적으로 많은 $k$-AP를 포함하는가?
• RQ3 $(k+1)$-항 산술급수가 없는 밀도 높은 소수 부분집합이 존재하는가? 그러나 충분히 밀도 높은 부분집합은 항상 $k$-항 산술급수를 포함하는가?
• RQ4 현재의 $r_k(n)$에 대한 최고 상한을 컨테이너 방법을 활용해 희박한 무작위 설정으로 전이할 수 있는가?

주요 결과

• 무한히 많은 $n$에 대해 $[n]$의 $k$-AP-free 부분집합의 수는 $2^{O(r_k(n))}$ 이하이며, 지수 항의 상수를 제외한 경우 자명한 하한과 일치한다.
• 논문은 새로운 초포화 결과를 확립한다: 크기가 $\Theta(r_k(n))$인 임의의 집합은 크기가 $m$인 집합일 때 $\omega(m)$개 이상의 $k$-항 산술급수를 포함한다.
• 모든 $n$에 대해 $k$-AP-free 부분집합의 수는 $2^{O(r_k(n) \cdot (\log n)^{1/(k-1)})}$ 이하이며, 무한히 많은 $n$에 대해 이 상한은 $2^{O(r_k(n))}$로 향상된다.
• 크기가 $\Omega(n^{1-1/k}/\log n)$인 소수의 밀도 높은 부분집합 $S'$가 존재하며, 이는 $(k+1)$-항 AP를 포함하지 않지만, $S'$의 크기의 $\delta$ 이상인 부분집합은 항상 $k$-항 AP를 포함한다. 여기서 $\delta > 0$은 임의의 양수이다.
• 초그래프 컨테이너 방법이 성공적으로 적용되어, 희박한 무작위 설정에서도 $k$-AP-free 집합의 수에 대한 엄밀한 상한을 도출하였다.