[논문 리뷰] The number of trees in a graph

Dhruv Mubayi, Jacques Verstraëte|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 23.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최소 차수 t 이상인 그래프 G에서 t개의 간선을 가진 트리 T의 동형 레이블링 복사본 수에 대한 날카운 하한을 확립한다. 트리 임bedding에 대한 새로운 확률 기반 귀납법을 사용하여, G는 적어도 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $개의 이러한 복사본을 포함함을 증명한다. 이는 이전의 경로에 대한 결과를 일반화하며, Erd\'os와 Simonovits의 트리 호모모르피즘에 대한 점근적 결과를 동형 임베딩으로 확장하고, 차수에 의존하는 명시적 상한을 제공한다.

ABSTRACT

Let $T$ be a tree with $t$ edges. We show that the number of isomorphic (labeled) copies of $T$ in a graph $G = (V,E)$ of minimum degree at least $t$ is at least \[2|E| \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{2|E|}}.\] Consequently, any $n$-vertex graph of average degree $d$ and minimum degree at least $t$ contains at least $$nd(d-t+1)^{t-1}$$ isomorphic (labeled) copies of $T$. This answers a question of Dellamonica et. al. (where the above statement was proved when $T$ is the path with three edges) while extending an old result of Erd\H os and Simonovits.

연구 동기 및 목표

• 최소 차수가 t 이상인 그래프 G에서 t개의 간선을 가진 트리 T의 동형 레이블링 복사본 수에 대한 비자명한 하한을 구하는 것.
• 세 개의 간선을 가진 경로에 대한 이전 결과 [3]를 임의의 트리로 일반화하는 것.
• 트리 산책에 대한 Erd\'os와 Simonovits의 점근적 결과를 동형 임베딩에 대해 정확하고 볼록 차수 의존 하한으로 확장하는 것.
• 최소 차수 조건 하에 동형 트리 복사본에 대해 차수-볼록 하한이 존재하는지에 대한 [3]에서 제기된 질문을 해결하는 것.

제안 방법

• BFS/DFS를 통한 레이블링 등 좋은 T의 레이블링을 사용하여 동형 트리 임베딩에 대한 확률 측도를 정의하고, 이전에 사용된 정점을 피하는 순차적 정점 선택을 수행한다.
• 각 임베딩 $ \omega $에 대해 확률 분포 $ \mathbb{P}(\omega) $를 정의하며, 각 단계에서 가능한 선택 수에 반비례하게 하고, 이는 정점의 차수에서 $ t-1 $을 뺀 값에 기반한 경계를 포함한다.
• t에 대한 귀납법을 통해 임베딩에서 정점 $ v $가 위치 $ i $에 있을 확률인 마진 확률 $ g_i(v) $가 $ g_i(v) \geq \frac{d(v)}{nd} $임을 증명한다. 이는 대칭성과 재레이블링 논증을 사용한다.
• 확률의 곱에 산술-기하 평균 부등식을 적용하여 총 임베딩 수에 대한 하한을 유도한다.
• 트리의 반전 레이블링에 대한 확률 함수의 불변성(즉, $ p(\omega) = p(z) $)을 활용하여 임베딩 순서의 마지막 정점을 다룬다.
• 볼금 함수 $ f(x) = (t-1)x \log(x - t + 1) $에 쥰센의 부등식을 적용하여, 정점 차수 기반 하한에서 평균 차수 기반 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 차수가 t 이상이고 평균 차수가 d인 그래프 G에서 t개의 간선을 가진 트리 T의 동형 레이블링 복사본 수에 대해 정확하고 볼록 차수 의존 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ2 경로에 대한 [3]의 결과를 일반화하여, $ 2|E| \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{2|E|}} $의 하한이 동형 트리 복사본에 대해 성립하는가?
• RQ3 하한 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $는 날카로운가? 그리고 완전 그래프(또는 크기가 $ d+1 $인 분리된 클리크)와 같은 극한 그래프에서 이 수와 일치하는가?
• RQ4 이전 연구에서 호모모르피즘에 사용된 방법을 동형 임베딩에 적응시킬 수 있는가? 이 경우 정점의 유일성 조건을 임베딩 중에 유지해야 한다.
• RQ5 임베딩 과정이 비가역적일 경우에도 트리 임베딩에서 정점이 주어진 위치에 나타날 확률이 $ d(v)/nd $ 이하로 떨어지지 않는가?

주요 결과

• 최소 차수가 t 이상이고 평균 차수가 d인 그래프 G에서 t개의 간선을 가진 트리 T의 동형 레이블링 복사본 수는 코로나리 2에서 보여주듯이 적어도 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $개 이상이다.
• 주요 결과인 정리 1은 $ nd \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{nd}} $의 하한을 확립하며, 이는 이전의 하한보다 더 날카롭고 더 체계적인 구조를 가진다.
• 증명은 정점 가용성과 과도한 수를 방지하기 위해 정교하게 정의된 확률 측도를 사용하는 트리 임베딩에 대한 새로운 귀납적 논증을 사용한다.
• 이 하한은 완전 그래프(또는 크기가 $ d+1 $인 분리된 클리크)가 $ nd(d-1)(d-2)\cdots(d-t+1) $을 달성함으로써 날카로운 것으로 나타나, 하한의 점근적 형태와 일치한다.
• 논문은 [3]에서 제기된 열린 문제를 해결하여, 최소 차수 조건 하에 동형 트리 복사본에 대해 차수-볼금 하한이 존재함을 보였다.
• 이 방법은 임베딩 과정이 정점 배제로 인해 마코프가 아닐 경우에도, 정점이 트리 임베딩의 주어진 위치에 나타날 확률이 $ d(v)/nd $ 이하로 떨어지지 않음을 보여준다.