[논문 리뷰] The number of unary clones containing the permutations on an infinite set

Michael Pinsker|arXiv (Cornell University)|2004. 10. 18.

semigroups and automata theory참고 문헌 2인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 무한 집합 X 위의 모든 순열을 포함하는 단항 클론의 간격의 기수를 결정하며, 이는 전체 클론 레이티스와 동일한 크기를 가짐을 보여준다. 특히, 기수 $
\kappa$가 비가산이고 정칙일 경우 $2^{2^{\text{max}
\big\vert\aleph_0\big\}}}$이며, 기수 $
\kappa$가 비정칙일 경우 $2^{\kappa^{<\kappa}}$이다. 결과적으로, 한 가지 예외적인 경우를 제외하고, 순열군과 최대 단항 클론 사이의 간격 역시 매우 크며, 그 크기는 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리에 따라 달라진다.

ABSTRACT

We calculate the number of unary clones (submonoids of the full transformation monoid) containing the permutations, on an infinite base set. It turns out that this number is quite large, on some cardinals as large as the whole clone lattice. Moreover we find that, with one exception, even the cardinalities of the intervals between the monoid of all permutations and the maximal submonoids of the full transformation monoid are as large. Whether or not the only exception is of the same cardinality as the other intervals depends on additional axioms of set theory.

연구 동기 및 목표

• 무한 집합 X 위의 모든 순열을 포함하는 단항 클론의 수를 결정하기.
• 클론 레이티스에서 $\mathscr{S}$가 순열의 모노이드일 때 간격 $[\mathscr{S}, \mathscr{O}^{(1)}]$의 구조와 기수를 분석하기.
• 순열군과 전체 변환 모노이드의 최대 부분모노이드 사이의 간격이 기수 측면에서 크기 있는지 조사하기.
• 간격의 기수가 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리, 특히 비정칙 기수에 대해 어떻게 달라지는지 검토하기.

제안 방법

• 각 함수 $f$에 대해 $\mathscr{K} \to \mathscr{K}$인 커널 수열 $s_f$를 정의하며, 여기서 $\mathscr{K}$는 $\kappa$ 이하의 기수들의 집합이며, 각 $\xi$에 대해 크기가 $\xi$인 커널 클래스의 수를 할당한다.
• 커널 수열과 이미지 크기 $|X \setminus f[X]|$를 사용하여 순열 동치에 따라 함수를 분류한다: $f = \beta \circ g \circ \gamma$ (여기서 $\beta, \gamma$는 순열)일 조건은 $s_f = s_g$ 이고 $|X \setminus f[X]| = |X \setminus g[X]|$ 이다.
• 크기가 $\kappa$인 집합 $\mathscr{R}$의 짝다른 비교 불가능한 소규모 무한 부분집합들의 가중치를 활용하여, $\kappa^{<\kappa}$와 $2^{\kappa^{<\kappa}}$의 기수를 이용해 서로 다른 클론을 생성한다.
• 비정칙 $\kappa$에 대해, 크기가 $\kappa$ 이하인 섬유를 가진 함수들의 모노이드인 $\mathscr{A}'$의 구조를 분석하고, $\mathscr{A}'$ 내부의 서로 다른 커널 수열의 수를 $\kappa^{<\kappa}$로 계산한다.
• $\mathscr{R}$의 $\kappa^{<\kappa}$개의 짝다른 비교 불가능한 소규모 무한 부분집합의 존재를 이용하여, $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 내부에 $2^{\kappa^{<\kappa}}$개의 서로 다른 클론을 구성한다.
• 예비완전 클론들에 걸쳐 결과를 통합하여 간격의 크기를 계산하며, 정칙과 비정칙 $\kappa$를 구분하고, 그 결과를 일반화된 연속체 가설(GCH)과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 집합 $X$ 위의 모든 순열을 포함하는 단항 클론의 기수는 얼마인가?
• RQ2 다양한 최대 단항 클론 $\mathscr{M}$에 대해, $\mathscr{S}$를 포함하는 간격 $[\mathscr{S}, \mathscr{M}]$의 크기는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 비정칙 기수 $\kappa$에 대해, 간격 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$의 정확한 기수는 얼마이며, $2^{2^{\lambda}}$와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 $\mathscr{D}$가 $\mathscr{S}$를 포함하는 모든 예비완전 클론의 교집합일 때, $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$의 기수와 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$의 기수가 같은가?
• RQ5 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리, 특히 GCH가 클론 레이티스에서 순열군 위의 간격 크기에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기수 $\kappa = \aleph_\alpha$인 무한 집합 $X$에 대해, 모든 순열을 포함하는 단항 클론의 수는 $2^{2^{\lambda}}$이며, 여기서 $\lambda = \text{max}\{\,|\alpha|, \aleph_0\,\}$이다.
• 만약 $\kappa$가 정칙이라면, $\mathscr{S}$를 포함하는 모든 예비완전 클론 $\mathscr{G}$에 대해 간격 $[\mathscr{S}, \mathscr{G}]$의 크기는 $2^{2^{\lambda}}$이며, 이는 $\mathscr{D}$가 모든 그러한 예비완전 클론의 교집합일 때 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$에도 동일하게 적용된다.
• 기수 $\lambda = \kappa$인 비정칙 $\kappa$에 대해, 간격 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$의 크기는 $2^{\kappa^{<\kappa}}$이며, 이는 집합론적 가정에 따라 $2^{2^{\kappa}}$보다 엄밀히 작을 수 있다.
• $\lambda < \kappa$일 때 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$의 크기는 $2^{2^{\lambda}}$이지만, $\lambda = \kappa$일 때는 $2^{\kappa^{<\kappa}}$가 되며, 이는 $\kappa$의 코finality와 기수 산술에 따라 달라지는 것을 보여준다.
• 간격의 크기가 항상 크다는 일반적인 성질의 유일한 예외는 비정칙 $\kappa$에 대해 $\mathscr{A}'$일 때이며, 이 경우 간격의 크기는 $2^{\kappa^{<\kappa}}$이며, $2^{2^{\lambda}}$보다 작을 수 있다.
• $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$와 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$의 기수가 다른 간격들과 같은지 여부는 추가 공리에 따라 달라진다: GCH 하에서는 $2^{\kappa^{<\kappa}} = 2^{2^{\kappa}}$이지만, $2^{\kappa^{<\kappa}} < 2^{2^{\kappa}}$일 수도 있음을 일관되게 보여준다.