[논문 리뷰] The numbers of repeated palindromes in the Fibonacci and Tribonacci sequences

Yuke Huang, Zhi‐Ying Wen|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 18.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 피보나치 수열과 트리보나치 수열의 접두사에서 반복되는 팰린드롬을 세는 알고리즘을 제시하며, 갭 시퀀스 성질과 팰린드롬 인자들의 재귀적 구조를 활용한다. 피보나치 수와 트리보나치 수에서 반복되는 팰린드롬의 수에 대한 명시적 공식을 유도하며, 예를 들어 $ A(f_m) = \frac{m-3}{5}f_{m+2} + \frac{m-1}{5}f_m + m + 3 $ 및 $ B(t_m) = \frac{m}{22}(10t_m + 5t_{m-1} + 3t_{m-2}) + \cdots + m + \frac{3}{2} $ 와 같은 공식을 제공하여 이러한 수열에서 반복 팰린드롬 수를 세는 데 있어 체계적인 접근을 처음으로 제시한다.

ABSTRACT

The Fibonacci sequence $\mathbb{F}$ is the fixed point beginning with $a$ of morphism $σ(a,b)=(ab,a)$. Since $\mathbb{F}$ is uniformly recurrent, each factor $ω$ appears infinite many times in the sequence which is arranged as $ω_p$ $(p\ge 1)$. Here we distinguish $ω_p eqω_q$ if $p eq q$. In this paper, we give algorithm for counting the number of repeated palindromes in $\mathbb{F}[1,n]$ (the prefix of $\mathbb{F}$ of length $n$). That is the number of the pairs $(ω, p)$, where $ω$ is a palindrome and $ω_p\prec\mathbb{F}[1,n]$. We also get explicit expressions for some special $n$ such as $n=f_m$ (the $m$-th Fibonacci number). The similar results are also given to the Tribonacci sequence, the fixed point beginning with $a$ of morphism $τ(a,b,c)=(ab,ac,a)$.

연구 동기 및 목표

• 피보나치 수열과 트리보나치 수열에서 반복 팰린드롬을 체계적으로 세는 방법을 개발하기 위해.
• 복잡한 위치 분포로 인해 이러한 수열에서 모든 팰린드롬의 모든 발생을 추적하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 특히 피보나치 수와 트리보나치 수에서 특정 길이에 대해 반복 팰린드롬의 수에 대한 명시적 닫힌 형태의 표현식을 수립하기 위해.
• 갭 시퀀스와 재귀적 구조적 성질을 활용하여 m-bonacci 및 에피스투르미안 수열으로 접근를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 피보나치 수열과 트리보나치 수열의 갭 시퀀스 성질을 활용하여 각 팰린드롬의 연속적인 발생 간격을 분석한다.
• 핵심 단어를 기반으로 실린더 및 체인 구조로 분해하여 팰린드롬 집합의 재귀적 구조를 구성한다.
• 접두사 $\mathbb{F}[1,n]$ 또는 $\mathbb{T}[1,n]$ 내에서 각 팰린드롬의 발생 횟수의 합으로 반복 팰린드롬의 수를 정의하고 계산한다.
• 핵심 단어 $K_m$ 의 재귀적 구조를 활용하여 팰린드롬 수의 재귀 관계를 도출한다.
• 실린더 분해 $\mathcal{P}_F = \langle a\rangle \cup \langle b\rangle \cup \langle aa\rangle$ 와 $\mathcal{P}_T = \langle a\rangle \cup \langle b\rangle \cup \langle c\rangle \cup \langle aa\rangle$ 를 활용하여 길이와 중심 문자에 따라 팰린드롬을 분류한다.
• 수학적 귀납법과 피보나치 및 트리보나치 수의 알려진 항등식을 활용하여 $A(n)$ 과 $B(n)$ 에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 $n$ 에 대해 피보나치 수열 접두사 $\mathbb{F}[1,n]$ 에서 반복 팰린드롬의 수를 효율적으로 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 제 $m$ 번째 피보나치 수 $f_m$ 에서 $\mathbb{F}[1,f_m]$ 에 포함된 반복 팰린드롬의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ3 유사한 알고리즘적 및 분석적 프레임워크를 트리보나치 수열으로 확장하여 반복 팰린드롬 수를 계산할 수 있는가?
• RQ4 피보나치 수열과 트리보나치 수열의 어떤 구조적 성질이 반복 팰린드롬 수의 명시적 공식 유도를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 접두사 $\mathbb{F}[1,n]$ 에서 반복 팰린드롬의 수 $A(n)$ 을 계산하는 알고리즘이 갭 시퀀스와 재귀적 팰린드롬 구조를 활용하여 개발되었다.
• 피보나치 수열에 대해 $A(f_m)$ 에 대한 명시적 공식이 도출되었다: $ A(f_m) = \frac{m-3}{5}f_{m+2} + \frac{m-1}{5}f_m + m + 3 $, $m \geq 0$.
• 트리보나치 수열에 대해 $B(t_m)$ 에 대한 명시적 공식을 확보하였다: $ B(t_m) = \frac{m}{22}(10t_m + 5t_{m-1} + 3t_{m-2}) + \frac{1}{22}(-23t_m + 12t_{m-1} - 5t_{m-2}) + m + \frac{3}{2} $, $m \geq 0$.
• 새로 정의된 실린더 및 체인 구조를 활용하여 기존의 팰린드롬 수와 코어지션 성질에 대한 결과를 재확인함으로써 방법의 타당성을 검증하였다.
• 체인 구조 $\bigcup_{m=-1}^{\infty} \langle K_m,1\rangle = \mathbb{N}$ 는 피보나치 수열의 풍부함을 확인하며, $\mathbb{F}[1,n]$ 에서 $n$ 개의 서로 다른 비어 있지 않은 팰린드롬이 존재함을 보여준다.
• 이 논문은 갭 시퀀스 성질이 알려져 있는 한, 이 접근법이 $m$-bonacci 및 에피스투르미안 수열으로 일반화될 수 있음을 보여주었다.