[논문 리뷰] The Oort conjecture on Shimura curves in the Torelli locus of curves

Xin Lü, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 $g > 11$일 때, 타입 Mumford의 쌍곡선과 타원곡선의 $g$-중 복합체를 매개변수로 하는 쌍곡선을 포함한, 종수-$g$ 곡선의 토렐리 부분다양체에 속하는 특정 클래스의 쌍곡선에 대해 오르트 추측을 증명한다. 또한 $g > 7$일 때, 초타원곡선 토렐리 부분다양체에 속하는 쌍곡선이 존재하지 않음을 입증하여, 완전히 분해 가능한 야코비안을 가진 매끄러운 곡선에 대한 유한성 결과를 도출하며, 엑스드라와 세르의 질문에 답한다.

ABSTRACT

Oort has conjectured that there do not exist Shimura curves contained generically in the Torelli locus of genus-$g$ curves when $g$ is large enough. In this paper we prove the Oort conjecture for Shimura curves of Mumford type and Shimura curves parameterizing principally polarized $g$-dimensional abelian varieties isogenous to $g$-fold self-products of elliptic curves for $g>11$. We also prove that there do not exist Shimura curves contained generically in the Torelli locus of hyperelliptic curves of genus $g>7$. As a consequence, we obtain a finiteness result regarding smooth genus-$g$ curves with completely decomposable Jacobians, which is related to a question of Ekedahl and Serre.

연구 동기 및 목표

• 종수-$g$ 곡선의 토렐리 부분다양체에 대해 충분히 큰 $g$에 대해, 양의 차원을 가진 특수 부분다양체(특히 쌍곡선)가 일반적으로 포함되지 않는 오르트 추측을 증명하는 것.
• 이 결과를 타원곡선의 $g$-중 복합체를 매개변수로 하는 쌍곡선과 초타원곡선으로 확장하는 것.
• 완전히 분해 가능한 야코비안을 가진 매끄러운 종수-$g$ 곡선에 대한 유한성 결과를 도출하여, 엑스드라와 세르의 질문에 답하는 것.
• 가장자리에 대한 히그(bundle)와 아라켈로프 유형 부등식을 적용하여, 준안정 곡선의 가닥의 기하학을 제약하는 것.

제안 방법

• 모듈리 공간 $\mathcal{A}_g$ 상의 곡선에 대한 로그 히그(bundle)를 이용하여 호지 구조의 변화를 분석한다.
• 준안정 곡선의 가닥에 엄격한 아라켈로프 부등식을 적용하여 쌍곡선 존재에 대한 기하학적 제약 조건을 도출한다.
• 준안정 곡선의 가닥에 대해, 밀야오카-요우 유형 부등식과 날카로운 기울기 부등식을 이용하여 불변량을 유계화한다.
• 초타원곡선 준안정 가닥의 $R^1\bar{f}_*\mathbb{Q}$의 평탄한 부분을 분석하여 단형과 호지 이론적 성질을 연구한다.
• 모듈리 공간 $\mathcal{S}_g$ 상의 침묵적 변환 $\sigma_g$를 사용하여 초타원곡선의 침묵적 변환과 모듈리 공간의 구조를 연결한다.
• 특수 부분다양체 이론과 CM 점 이론을 포함한 미분기하학적 및 수론적 기법을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타입 Mumford의 쌍곡선이 $g > 11$일 때 종수-$g$ 곡선의 토렐리 부분다양체에 일반적으로 존재하는가?
• RQ2 $g > 11$일 때, 타원곡선의 $g$-중 복합체를 매개변수로 하는 쌍곡선이 종수-$g$ 곡선의 토렐리 부분다양체에 일반적으로 포함되는가?
• RQ3 $g > 7$일 때, 초타원곡선의 토렐리 부분다양체에 일반적으로 포함되는 쌍곡선이 존재하는가?
• RQ4 완전히 분해 가능한 야코비안을 가진 매끄러운 종수-$g$ 곡선에 대해 어떤 유한성 성질이 성립하는가?
• RQ5 엄격한 아라켈로프 및 밀야오카-요우 부등식은 $\mathcal{A}_g$ 상의 준안정 곡선 가닥의 기하학을 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• $g > 11$일 때, 종수-$g$ 곡선의 토렐리 부분다양체에 일반적으로 포함되는 타입 Mumford의 쌍곡선은 존재하지 않는다.
• $g > 11$일 때, 타원곡선의 $g$-중 복합체를 매개변수로 하는 쌍곡선이 종수-$g$ 곡선의 토렐리 부분다양체에 일반적으로 포함되는 것은 존재하지 않는다.
• $g > 7$일 때, 초타원곡선의 토렐리 부분다양체에 일반적으로 포함되는 쌍곡선은 존재하지 않는다.
• 이 결과는 야코비안이 타원곡선의 곱과 야코비안이 동형인 매끄러운 종수-$g$ 곡선에 대한 유한성 결과를 암시하며, 엑스드라와 세르의 질문의 특수 케이스를 해결한다.
• 엄격한 아라켈로프 부등식과 밀야오카-요우 유형 부등식은 이러한 쌍곡선의 존재를 차단하는 데 효과적인 도구로 밝혀졌다.
• 초타원곡선 준안정 가닥의 $R^1\bar{f}_*\mathbb{Q}$의 평탄한 부분을 분석하여, 단형과 호지 이론적 제약 조건을 통해 존재하지 않음을 뒷받침한다.