[논문 리뷰] The open mapping theorem and the fundamental theorem of algebra

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 30.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 적분이나 멱급수에 의존하지 않고, 바나흐 또는 브라우어 고정점 정리에 기반하여 해석함수에 대한 개구역 정리의 새로운 초등적 증명을 제시한다. 이를 통해 위상적 추론을 통해 다항함수의 기본정리(Fundamental Theorem of Algebra, FTA)를 도출하며, 모든 비상수 다항함수는 ℂ에 근을 가진다는 것을 입증한다 — 이는 이전에는 단지 브라우어 고정점 정리로는 도달할 수 없다고 여겨졌던 결과이다.

ABSTRACT

This note is devoted to two classical theorems: the open mapping theorem for analytic functions (OMT) and the fundamental theorem of algebra (FTA). We present a new proof of the first theorem, and then derive the second one by a simple topological argument. The proof is elementary in nature and does not use any kind of integration (neither complex nor real). In addition, it is also independent of the fact that the roots of an analytic function are isolated. The proof is based on either the Banach or Brouwer fixed point theorems. In particular, this shows that one can obtain a proof of the FTA (albeit indirect) which is based on the Brouwer fixed point theorem, an aim which was not reached in the past and later the possibility to achieve it was questioned. We close this note with a simple generalization of the FTA. A short review of certain issues related to the OMT and the FTA is also included.

연구 동기 및 목표

• 복소 적분이나 멱급수에 의존하지 않는 해석함수에 대한 개구역 정리의 새로운 초등적 증명을 제공한다.
• ℂ의 연결성에 기반한 위상적 추론을 통해 다항함수의 기본정리(FTA)를 확립한다.
• 브라우어 고정점 정리로부터 간접적으로 FTA를 도출할 수 있음을 보이며, 이 정리로만 FTA를 유도할 수 있는지에 대한 오랜 의문을 해소한다.
• 이미지의 닫힘성과 함수의 복합성에 기반하여 전체 해석함수가 전사가 되는 충분조건을 규명함으로써 FTA를 일반화한다.

제안 방법

• ℂ 내의 닫힌 구역의 완비성과 리프시츠 연속성에 기반하여 바나흐 고정점 정리를 사용해 개구역 정리를 증명한다.
• f(z) = w를 풀기 위해 다항함수의 주항등항의 역수와 복소근 함수의 분⽀을 포함하는 수축 사상 T(ξ)를 정의한다.
• 바나흐의 정리 외에 브라우어 고정점 정리를 활용하여 컴acts한 볼록 집합 내에 해의 존재를 보장한다.
• 비상수 다항함수 f의 이미지 f(ℂ)가 개구역 정리에 의해 열려 있고, 수열적 컴팩트성에 의해 닫혀 있음을 증명함으로써 ℂ와 동일함을 도출한다.
• 전체 해석함수가 전사가 되는 조건을 규명함으로써 FTA를 일반화한다. 예를 들어, 전사 해석함수의 복합 또는 f(z) = p(g(z)) + q(1/g(z))와 같은 특정 함수 형태를 고려한다.
• ℂ가 연결되어 있고 f(ℂ)가 열려 있고 닫혀 있음을 이용하여, 고립된 근이나 해석적 계속화를 요구하지 않고도 f(ℂ) = ℂ임을 결론내린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석함수에 대한 개구역 정리는 복소 적분이나 멱급수 없이 증명될 수 있는가?
• RQ2 브라우어 고정점 정리로부터 직접적이고 초등적인 방식으로 다항함수의 기본정리를 도출할 수 있는가?
• RQ3 비상수 다항함수 외에 전체 해석함수가 전사가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 ℂ의 위상적 구조(특히 연결성)는 해석함수의 이미지의 열림성과 닫힘성과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 함수 복합과 알려진 전사 사상들을 이용해 특정 클래스의 전체 함수의 전사성을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 바나흐 고정점 정리를 사용하여 적분과 멱급수를 피하고, 고립된 근 성질에 의존하지 않는 개구역 정리의 새로운 증명이 확립되었다.
• 다항함수 f: ℂ → ℂ가 전사이므로 ℂ에 근을 가진다는 점에서 다항함수의 기본정리가 추론의 결과로 도출된다.
• 이 증명은 브라우어 고정점 정리가 간접적으로 FTA를 도출할 수 있음을 보이며, 이와 같은 유도가 가능하다는 데 대한 오랜 의문을 해소한다.
• 모든 비상수 다항함수 f의 이미지 f(ℂ)는 ℂ에서 열려 있고 닫혀 있으며, ℂ가 연결되어 있으므로 f(ℂ) = ℂ임을 도출한다.
• FTA의 일반화가 이루어졌으며, 전체 함수 f가 전사임과 동시에 그 이미지가 닫혀 있을 조건을 규명하였다. 예를 들어 f(z) = p(g(z)) + q(1/g(z))는 g가 영이 아닌 경우와 p, q가 비상수 다항함수이면 전사이다.
• 함수 f(z) = cos⁷(z² + z + i) − 3cos(z² + z + i) + 1이 전사임을 보이며, 따라서 근을 가짐을 보여주어 일반화된 기준의 적용 가능성을 입증한다.