[논문 리뷰] The operad of wiring diagrams: formalizing a graphical language for databases, recursion, and plug-and-play circuits

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 14인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 데이터베이스, 회로 및 재귀 시스템에서의 계층적이고 자기유사적인 구조를 수학적으로 형식화하기 위한 와이어링 다이어그램 작도 $\tau$ 를 소개한다. 와이어링 다이어그램을 작도의 사상으로 모델링함으로써, 관계, 즉시 연결 가능한 구성 요소, 재귀 시스템을 관계 대수와 카테고리 이론을 기반으로 한 대수적 의미론을 통해 통합된 시각적 언어로 조합할 수 있다.

ABSTRACT

Wiring diagrams, as seen in digital circuits, can be nested hierarchically and thus have an aspect of self-similarity. We show that wiring diagrams form the morphisms of an operad $\mcT$, capturing this self-similarity. We discuss the algebra $\Rel$ of mathematical relations on $\mcT$, and in so doing use wiring diagrams as a graphical language with which to structure queries on relational databases. We give the example of circuit diagrams as a special case. We move on to show how plug-and-play devices and also recursion can be formulated in the operadic framework as well. Throughout we include many examples and figures.

연구 동기 및 목표

• 계층적 시스템을 위한 시각적 언어를 작도를 통해 형식화함으로써, 특히 데이터베이스와 디지털 회로에 대해.
• 신경망이나 설계된 회로와 같은 정보 처리 시스템에서 자기유사성과 조합을 모델링함.
• 작도 대수를 사용하여 즉시 연결 가능한 장치와 재귀적 시스템 설계를 위한 범주론적 기반을 제공함.
• 신경세포에서부터 회로, 데이터베이스에 이르기까지 다양한 척도의 복잡한 시스템을 하나의 작도 프레임워크로 통합적으로 기술함.
• 관계 대수 이론을 작도 및 범주론적 구조에 통합함으로써, 시각적이고 조합적인 쿼리 형식을 가능하게 하기 위해 관계 대수 이론을 확장함.

제안 방법

• 유한 집합의 코스팬의 범주로 구성된 작도 $\mathcal{T}$ 를 정의하여, 작은 구성 요소들이 어떻게 더 큰 것으로 연결되는지를 포착함.
• 와이어링 다이어그램이 관계를 조합하여 새로운 관계를 형성할 수 있도록 하는 관계적 $\mathcal{S}$-대수 $\mathcal{R}\textnormal{el}$ 를 도입함.
• 구성 요소를 관계 위의 대수적 연산으로 간주함으로써, 작도 조합을 사용해 즉시 연결 가능한 시스템을 모델링함.
• 폐쇄된 작도를 사용하여 재귀를 형식화함으로써, 구성 요소가 제한적이고 잘 정의된 방식으로 자신을 포함하는 재귀적 와이어링 패턴을 허용함.
• 범주론과 코스팬 구성 방법을 활용하여, 와이어링 패턴(구조)과 대수적 규칙(기능)을 별도로 모델링함.
• 프레임워크를 디지털 회로, 신경 하위계통, 사이버-물리 시스템에 적용하여 일반성과 표현력을 입증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 와이어링 다이어그램이 작도의 사상으로 어떻게 형식화될 수 있으며, 계층적 조합과 자기유사성을 포착할 수 있는가?
• RQ2 관계 대수 이론을 작도의 와이어링 다이어그램에 적용하여 관계형 데이터베이스를 어떻게 모델링하고 쿼리할 수 있는가?
• RQ3 즉시 연결 가능한 또는 핫플러그 가능한 구성 요소들이 작도 프레임워크 내에서 어떻게 수학적으로 형식화될 수 있는가?
• RQ4 폐쇄된 작도를 사용하여 시스템의 재귀를 포착할 수 있으며, 이는 자기참조적 또는 피드백 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 작도가 뉴런 네트워크, 회로, 데이터베이스와 같은 다양한 시스템을 하나의 조합적 언어로 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 와이어링 다이어그램 작도 $\mathcal{T}$ 는 유한 집합의 코스팬인 사상으로 구성된 작도로 엄밀히 정의되며, 구성 요소의 계층적 조합을 가능하게 한다.
• 관계적 $\mathcal{S}$-대수 $\mathcal{R}\textnormal{el}$ 는 와이어링 다이어그램을 사용하여 관계형 데이터베이스 쿼리를 표현하고 조합할 수 있는 타당한 범주론적 모델을 제공한다.
• 즉시 연결 가능한 시스템은 작도 위의 대수로 모델링되며, 구성 요소들이 잘 정의된 인터페이스를 가진 재사용 가능하고 조합 가능한 실체로 간주된다.
• 재귀는 폐쇄된 작도를 사용하여 형식화되며, 구성 요소가 제한적이고 비순환적인 방식으로 자신을 포함하는 재귀적 와이어링 패턴을 허용한다.
• 이 프레임워크는 디지털 회로, 신경 하위계통, 데이터베이스와 같은 다양한 분야를 하나의 조합적 언어로 통합적으로 모델링하는 데 성공하였다.
• 작도 모델은 폐쇄된 작도 구조를 통해 향후 와이어 길이, 응력 전파, 집계 함수 등의 토폴로지적 특징을 포함하도록 확장 가능하다.