[논문 리뷰] The outer spectral radius and dynamics of completely positive maps

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 행렬의 튜플에 대한 연관 스펙트럴 반경의 일반화로 외부 스펙트럴 반경을 도입하며, 완전히 양의 매핑과 양자 채널의 동역학과 연관지운다. 외부 스펙트럴 반경에 대해 게르팔드 유사 공식을 수립하고, 비퇴화된 양자 페론-프로베니우스 정리를 증명하며, 완전히 양의 매핑의 반복의 평균이 원래 연산자들이 생성하는 대수에서 이상을 생성하는 연산자로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

We examine a special case of an approximation of the joint spectral radius given by Blondel and Nesterov, which we call the outer spectral radius. The outer spectral radius is given by the square root of the ordinary spectral radius of the $n^2$ by $n^2$ matrix $\sum{\overline{X_i}}\otimes{X_i}.$ We give an analogue of the spectral radius formula for the outer spectral radius which can be used to quickly obtain the error bounds in methods based on the work of Blondel and Nesterov. The outer spectral radius is used to analyze the iterates of a completely postive map, including the special case of quantum channels. The average of the iterates of a completely positive map approach to a completely positive map where the Kraus operators span an ideal in the algebra generated by the Kraus operators of the original completely positive map. We also give an elementary treatment of Popescu's theorems on similarity to row contractions in the matrix case, describe connections to the Parrilo-Jadbabaie relaxation, and give a detailed analysis of the maximal spectrum of a completely positive map.

연구 동기 및 목표

• 외부 스펙트럴 반경을 통해 블론델-네스테로프의 연관 스펙트럴 반경 근사화를 통합하고 확장하기.
• 외부 스펙트럴 반경에 대해 게르팔드 유사 스펙트럴 반경 공식을 제공하여 근사 방법의 오차 한계를 가능하게 하기.
• 특히 양자 채널을 포함한 완전히 양의 매핑의 장기적 동역학을 관련 행렬 $ \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 의 스펙트럴 성질을 통해 분석하기.
• 행렬 경우에서 포페스크의 로타-스트랑그 이론에 대한 간단한 접근 제공: 행렬의 행렬로의 유사성에 관한 이론.
• 외부 스펙트럴 반경을 페르릴로-자바바에이의 이완과 연결하고, $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ 의 스펙트럴 구조 분석하기.

제안 방법

• 외부 스펙트럴 반경을 $ \hat{\rho}(X_1,\ldots,X_d) = \sqrt{ \rho\left( \sum \overline{X_i} \otimes X_i \right) } $ 로 정의하여 크로네커 tích 행렬의 스펙트럴 반경과 연결하기.
• 게르팔드 유사 공식 증명: $ \hat{\rho} = \lim_{k\to\infty} \sup_{\sum |a_{i_1\cdots i_k}|^2=1} \left\| \sum a_{i_1\cdots i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_k} \right\|^{1/k} $, 이는 동역학적 해석을 제공한다.
• 수렴성과 스펙트럴 구조 분석에 도움이 되는 라파노프 행렬 $ L $ 을 구성하여 $ L - \sum X_i L X_i^* \geq 0 $ 을 만족시키기.
• ψ-대칭과 부분 추적을 사용하여 행렬 $ T = \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 를 분석하고, 그 최대 스펙트럼이 비음수 실수 고유값을 포함함을 보여주기.
• 대칭군의 표현 이론을 적용하여 $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ 의 불변 부분공간을 연구하고, 이를 대칭 다항식과 연결하기.
• 페르릴로-자바바에이의 이완 $ \rho_{SR,2d} $ 을 $ \sum \tau_{X_i} $ 가 차수 $ 2k $ 의 동차 다항식에 작용하는 스펙트럴 반경으로 재해석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 스펙트럴 반경은 반복되는 완전히 양의 매핑, 특히 양자 채널의 동역학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 외부 스펙트럴 반경에 대해 게르팔드 유사 공식을 수립할 수 있으며, 이는 근사 방법의 오차 한계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 행렬 $ \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 의 스펙트럼 구조는 무엇이며, 특히 최대 스펙트럼과 퇴화 지수에 관해 어떻게 되는가?
• RQ4 외부 스펙트럴 반경은 페르릴로-자바바에이의 이완과 어떻게 연결되며, 행렬의 대칭 대수와의 관계는 무엇인가?
• RQ5 라파노프 행렬은 완전히 양의 매핑의 반복 수렴성을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 외부 스펙트럴 반경은 게르팔드 유사 공식을 만족한다: $ \hat{\rho}(X_1,\ldots,X_d) = \lim_{k\to\infty} \sup_{\sum |a_{i_1\cdots i_k}|^2=1} \left\| \sum a_{i_1\cdots i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_k} \right\|^{1/k} $, 이는 동역학적 해석을 제공한다.
• 행렬 $ T = \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 의 최대 스펙트럼은 비음수 실수 고유값 $ \lambda $ 를 포함하며, 이는 모든 다른 고유값 $ \lambda' $ 에 대해 $ \lambda \geq |\lambda'| $ 를 만족하며, 등호는 $ \lambda $ 가 더 높거나 같은 퇴화 지수를 가질 경우에만 성립한다.
• 완전히 양의 매핑의 반복 평균은 원래의 크라우스 연산자들이 생성하는 $ C^* $-대수에서 이상을 생성하는 연산자로 수렴한다.
• 외부 스펙트럴 반경 $ \hat{\rho} = 1 $ 이고 $ X_i $ 가 $ M_n(\mathbb{C}) $ 을 생성할 경우, $ V^{1/2} $ 와 $ W^{1/2} $ 를 통한 케이스 변환으로 유일성 또는 추적 보존 형태로 변환 가능하다.
• 연관 스펙트럴 반경의 스펙트럴 반경은 $ \rho(X_1,\ldots,X_d) = \lim_{k\to\infty} \rho\left( \sum \tau_{X_i} \big|_{\mathbb{R}[e_1,\ldots,e_n]_{2k}} \right)^{1/2k} $ 로 복구 가능하며, 다항식 작용과 연결된다.
• 행렬 $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ 의 가장 큰 고유값에 해당하는 고유공간은 치환에 대해 불변이며, 비퇴화된 경우는 일차원이며 대칭 벡터에 의해 생성된다.