[논문 리뷰] The output entropy of quantum channels and operations

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 01.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 및 무한차원 양자 시스템에서 양자 채널과 양자 연산의 출력 von Neumann 엔트로피에 대한 연속성 조건을 수립한다. 특히 PCE-성질(Preservation of Continuity of Entropy)을 도입하고, 크라우스 연산자 기반으로 충분 조건을 유도함으로써 홀로보 용량 및 형성의 양자 얽힘과 같은 주요 양자 정보 측정치의 연속성 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Continuity properties of the output entropy of positive linear maps between Banach spaces of trace class operators are investigated with the special attention to the classes of quantum channels and operations. It is shown that finiteness of the output entropy of a positive map on the whole input state space implies its continuity. Sufficient conditions for this property expressed in terms of the Kraus representation of quantum channels and operations are presented. The characterization of a positive map "preserving continuity of the entropy" (in the sense that continuity of the entropy on a set of input states implies continuity of its output entropy on this set) is obtained and its applications to the class of quantum operations are considered. The special relation between continuity properties of the output entropies of complementary quantum operations is established and its corollaries are discussed. Continuity conditions for the output entropy of positive maps considered as a function of a pair (map, input state) are also obtained. Several applications to the quantum information theory are presented in the last part of the paper.

연구 동기 및 목표

• 입력 상태 전체 공간에서 양자 채널의 출력 엔트로피가 연속이 되는 조건을 규명하는 것.
• 입력 상태 집합에서 자체적으로 연속 엔트로피를 갖는 집합에서 출력 엔트로피가 연속이 되는 조건을 규명하는 것.
• 양자 연산과 입력 상태 양쪽에 대한 함수로서의 출력 엔트로피의 공동 연속성 분석.
• 연속성 결과를 무한차원 시스템에서의 홀로보 용량 및 형성의 양자 얽힘의 연속성에 적용하는 것.

제안 방법

• 트레이스 노름 위상에 기반한 트레이스-클래스 연산자 공간 간의 양성 선형 사상에 대해 출력 엔트로피의 연속성 분석.
• 양성 선형 사상에 대해 연속 엔트로피 보존(PCE-성질)을 도입하고 스펙트럼 성질을 통해 특성화.
• 양자 연산과 그 보완 연산에 대해 크라우스 연산자 기반으로 PCE-성질을 위한 충분 조건 유도.
• 스펙트럼 프로젝션과 유한계수 근사법을 사용하여 상태 수렴 시 엔트로피 변동 제어.
• 변분 방법과 라그랑주 승수를 사용하여 주어진 가중 분포를 갖는 앙상블에서 엔트로피 최대화.
• 보흐너 적분과 상태 공간 위의 확률 측도의 약한 수렴을 활용하여 바리센터와 엔트로피 연속성 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 채널의 출력 엔트로피가 전체 입력 상태 공간에서 언제 연속이 되는가?
• RQ2 입력 상태의 집합이 자체적으로 연속 엔트로피를 갖는 경우, 출력 엔트로피가 언제 연속이 되는가?
• RQ3 보완 양자 연산의 연속성 성질은 상호 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 채널에 대한 함수로서 홀로보 용량이 연속이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 출력 엔트로피 연속성에 기반해 무한차원 시스템에서 형성의 양자 얽힘을 연속으로 보일 수 있는가?

주요 결과

• 입력 상태 전체 공간에서 출력 엔트로피가 유한한 것은 출력 엔트로피 사상의 연속성과 동치이다.
• 양자 연산에 대해 PCE-성질이 성립하는 것은 그 크라우스 연산자들의 연산자 노름 제곱합이 유한할 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 보완 양자 연산 쌍의 출력 엔트로피는 PCE-성질이 성립할 경우 연산과 입력 상태 양쪽에 대해 공동 연속이다.
• 채널이 PCE-성질을 만족하고 최적의 앙상블이 연속일 경우, 홀로보 용량은 채널에 대한 함수로서 연속이다.
• 무한차원 시스템에서 유한 엔트로피를 갖는 상태 집합에서 형성의 양자 얽힘은 출력 엔트로피가 연속일 경우 연속이다.
• 유한 엔트로피를 갖는 임의의 상태에 대해, 원래 상태의 엔트로피와 임의로 가까운 엔트로피를 갖는 유한계수 프로젝션을 통한 절단된 상태를 갖는 수열이 존재한다.