[논문 리뷰] The p-AAA algorithm for data driven modeling of parametric dynamical systems

Andrea Carracedo Rodriguez, Linus Balicki외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 14.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 함수 평가 자료만을 사용하여 다변수 파arametric 동적 시스템에 대한 유리 근사법을 제안하는 p-AAA 알고리즘을 소개한다. 이는 단일 변수에 대한 AAA 알고리즘을 다변수에서의 바리센트 유리형으로 확장하여, 전체 상태공간 모델에 접근할 수 없는 상황에서도 스칼라 및 행렬값 전이 함수의 정확한 축소 모델링을 가능하게 하며, 파라미터화된 PDE와 동적 시스템에서 최악의 경우에도 높은 정확도를 보여준다.

ABSTRACT

The AAA algorithm has become a popular tool for data-driven rational approximation of single variable functions, such as transfer functions of a linear dynamical system. In the setting of parametric dynamical systems appearing in many prominent applications, the underlying (transfer) function to be modeled is a multivariate function. With this in mind, we develop the AAA framework for approximating multivariate functions where the approximant is constructed in the multivariate barycentric form. The method is data-driven, in the sense that it does not require access to full state-space model and requires only function evaluations. We discuss an extension to the case of matrix-valued functions, i.e., multi-input/multi-output dynamical systems, and provide a connection to the tangential interpolation theory. Several numerical examples illustrate the effectiveness of the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 내부 상태공간 모델가 아닌 입력/출력 측정치(전이 함수 샘플)만 제공되는 파라미터화된 동적 시스템을 근사화하기 위한 데이터 기반 프레임워크를 개발하는 것.
• 원래 단일 변수 유리 근사에 대해 설계된 AAA 알고리즘을 다변수 함수에 적용하기 위해 다중 파라미터에서의 바리센트 유리형으로 확장하는 것.
• 샘플된 데이터에 대한 보간 및 최소제곱 적합을 통해 스칼라 및 행렬값 전이 함수(예: MIMO 시스템)의 축소 모델링을 가능하게 하는 것.
• 특히 특이점에 가까운 영역이나 복잡한 파라미터 의존성 존재 시에도 정확도를 유지하는 것.
• 행렬값 근사에 대해 당김 보간 이론과의 연결을 제공하여 기존 시스템 이론에 기반한 이론적 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 전체 모델 재구성 없이도 선택된 파라미터 점에서의 함수 평가 자료만을 사용하여 다변수 유리 근사형을 바리센트 형태로 구성하는 방법.
• 파라미터 영역 전역에서 최소제곱 기준으로 근사 오차를 최소화하기 위해 반복적으로 보간 점을 선택하는 그레디브 선택 전략을 사용.
• 행렬값 시스템(MIMO)의 경우, 효율적인 전이 함수 샘플링을 위해 무작위 또는 구조적 벡터를 사용한 당김 보간을 적용.
• 적응적으로 오차 최소화를 통해 각 파라미터에 대한 차수를 결정하는 적절한 및 엄밀히 적절한 유리형 모두 지원.
• 해결책을 다변수 함수로 간주함으로써 시간 영역 동적 시스템과 정적 PDE에 모두 적용.
• 모든 파라미터 영역에서의 안정성 검증을 위해 파라미터 스윕을 사용하여 최악의 경우 성능 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 상태공간 모델에 접근할 수 없는 상황에서 AAA 알고리즘을 다변수 파라미터화된 동적 시스템에 대해 효과적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 특히 고차원 또는 조건이 나쁜 파라미터 영역에서, 샘플된 자료만을 사용하여 p-AAA 방법이 파라미터화된 시스템의 전이 함수를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 행렬값(MIMO) 시스템에서 어떤 성능을 보이며, 기존의 투영 기반 모델 차수 감소 기법과 비교해 볼 때 어떤가?
• RQ4 비선형 파라미터 의존성과 파라미터 영역 내 근접한 특이점과 같은 복잡한 파라미터 행동을 다룰 수 있는가?
• RQ5 전체 파라미터 영역에서 최악의 경우 근사 오차는 어떻게 변화하는가? 특히 도전적인 상황에서도 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• p-AAA 알고리즘은 내부 시스템 행렬이 필요 없이도 함수 평가 자료만으로도 파라미터화된 전이 함수를 정확하게 근사한다.
• 2401개의 출력을 가진 2차원 PDE에 대해 MIMO p-AAA 근사에서 $p=1.7545$, $z=2$에서 최악의 오차가 $3.11 \times 10^{-2}$로 나타나 안정성을 입증하였다.
• 근접한 특이점이 존재하는 더 도전적인 PDE에 대해서는 최악의 오차가 $7.28 \times 10^{-2}$였으며, 복잡한 행동을 포착하기 위해 알고리즘이 높은 차수($q=5$, $o=6$)를 선택하였다.
• 이 방법은 비선형 파라미터 의존성을 포함한 모든 영역의 파라미터화된 PDE 해를 블랙박스 샘플링을 통해 성공적으로 포착하였다.
• 바리센트 유리형은 고도로 민감하거나 근접한 특이점 영역에서도 안정적이고 정확한 보간을 가능하게 하였다.
• 당김 보간 이론과의 연결은 행렬값 경우에 대해 이론적 기반을 제공하며, 기존의 모델 축소 원칙과의 일관성을 보장한다.