[논문 리뷰] The $p$-CurlCurl : Spaces, traces, coercivity and a Helmholtz decomposition in $L^p$

Marc Laforest|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 17.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고온 초전도체 모델링에서 나타나는 p-라플라시안의 회전 대칭 버전인 p-CurlCurl 문제를 위한 L^p 프레임워크를 수립한다. 새로운 헬름홀츠 분해와 L^p 공간 내 프리드리히스 부등식을 통해 약한 해의 존재성과 유일성을 증명하며, 고전적인 H(curl) 및 H(div) 이론을 비선형성과 비균일 타원성 조건이 존재하는 C^1 경계를 가진 영역으로 확장한다.

ABSTRACT

This work provides the foundation for the finite element analysis of an elliptic problem which is the rotational analogue of the $p$-Laplacian and which appears as a model of the magnetic induction in a high-temperature superconductor operating near it's critical current. Whereas the function theory for the $p$-Laplacian requires standard results in $L^p$ Sobolev spaces, this problem requires an extension to $L^p$ spaces of the well-known $L^2$ theory for divergence free vector fields, as used in the finite element method applied to incompressible flows and electromagnetic radiation. Among other things, the analysis requires extensions to $L^p$ of the well-known $H(\operatorname{div}; Ω)$ and $H(\operatorname{curl};Ω)$, extensions of traces and Green's theorem, a Helmholtz decomposition and finally a Friedrich's inequality. In this paper, we provide a proof of the existence and uniqueness of weak solutions of our so-called $p$-CurlCurl problem. In a companion paper, the analysis is extended to treat continuous and finite element solutions of the nonlinear parabolic problem whose spatial term is the $p$-CurlCurl operator. Many of the results presented here are either already known, known in slightly different forms or are proven with the help of techniques that are already well-known. The main novelty of this paper appears to be the structured form of this $L^p$ theory and our form of the Helmholtz decomposition and of the Friedrich's inequality. In this respect, we note that some of these results can be found in the works of M. Dauge, M. Mitrea and I. Mitrea.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역에서 C^1 경계를 가진 경우, p-CurlCurl 연산자—p-라플라시안의 회전 대칭 형태—에 대한 완전한 L^p 함수해석적 프레임워크를 개발하는 것.
• p ∈ (1, ∞)에 대해 고전적인 H(curl) 및 H(div) 공간, 경계값, 그린 정리를 L^p 설정으로 확장하여, 특히 초전도체에서 중요한 큰 p 값에 대해 적용 가능하게 하는 것.
• L^p 공간에서 새로운 형태의 헬름홀츠 분해와 프리드리히스 부등식을 수립하여, 강한 해석성과 약한 해의 존재성을 증명하는 데 핵심적인 역할을 하는 것.
• 접선 경계 조건과 발산이 0인 제약 조건을 갖는 정적 p-CurlCurl 문제에 대해 약한 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 비선형 전자기 모델을 연구하는 응용 수학자 및 공학자들이 사용할 수 있도록 자가 포함적이고 접근 가능한 참고 자료를 제공하는 것.

제안 방법

• Sobolev 포함과 쌍대성에 기반하여 L^2 기반의 H(curl) 및 H(div) 이론을 L^p 공간으로 확장함으로써, 적절한 노름을 갖는 W^p(curl; Ω) 및 W^p(div; Ω) 공간을 정의한다.
• 경계값과 그린 항등식은 쌍대성과 경계값 정리에 기반하여 L^p로 일반화되며, C^1 경계의 정규성 덕분에 유계성과 전사성 보장이 가능하다.
• L^p 버전의 H(div)에 대해 새로운 헬름홀츠 분해를 구성하여, W^p(curl; Ω) 내의 벡터장이 회전이 0인 성분과 발산이 0인 성분으로 분해되도록 한다.
• 프리드리히스 부등식은 L^p 공간에서 컬 연산자에 대해 증명되며, 이는 W^p(curl) 반노름을 통해 컬의 L^p 노름을 통제하는 핵심적인 강한 해석성 추정을 제공한다.
• p-CurlCurl 연산자는 공간 X₀ = {u ∈ W^p(curl; Ω) : ∇·u = 0, n×u = 0 on ∂Ω} 위에서 절반연속, 강한 단조성, 강한 해석성을 갖는 것으로 나타나, 단조 연산자 이론의 적용이 가능하다.
• 약한 해의 존재성과 유일성은 리옹-락스-밀그램 정리와 단조 연산자 이론을 통해 증명되며, 역연산자가 연속임을 보여 해의 안정성이 데이터 S ∈ X₀’에 대해 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p > 1에 대해 고전적인 H(curl) 및 H(div) 이론을 L^2에서 L^p 공간으로 어떻게 확장할 수 있는가? 특히 큰 p 값에 대해 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ2 특히 발산이 0인 벡터장에 제한된 경우, L^p 공간 내에서 헬름홀츠 분해의 적절한 형태는 무엇인가?
• RQ3 L^p 공간에서 컬 연산자에 대해 프리드리히스 부등식을 어떻게 수립할 수 있으며, 이는 p-CurlCurl 연산자의 강한 해석성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 유계 영역에서 C^1 경계를 가진 경우, p-CurlCurl 문제의 약한 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 p-라플라시안과 유사한 방식으로 변분적으로 분석할 수 있는 비선형 p-CurlCurl 연산자는 어떻게 분석할 수 있으며, 이때 회전 구조를 어떻게 반영할 수 있는가?

주요 결과

• p ≥ 2 이고 유계 영역에서 C^1 경계를 가진 경우, 공간 X₀ = {u ∈ W^p(curl; Ω) : ∇·u = 0, n×u = 0 on ∂Ω} 내에서 p-CurlCurl 문제는 유일한 약한 해를 갖는다.
• L^p 공간에서 새로운 헬름홀츠 분해가 증명되었으며, 이는 W^p(curl; Ω) 내의 벡터장을 기울기 성분과 발산이 0인 성분으로 분해한다. 이는 L^p 설정에 적합하게 조정된 형태이다.
• L^p 공간에서 컬 연산자에 대해 프리드리히스 부등식이 수립되었으며, 이는 X₀ 소속 함수에 대해 ‖∇×u‖_{L^p}^p ≤ C‖u‖_{W^p(curl)}^p 라는 강한 해석성 추정을 제공한다.
• 연산자 A는 (A u, v) = ∫_Ω |∇×u|^{p-2} ∇×u · ∇×v dx 로 정의되며, 절반연속, 강한 단조성, 강한 해석성을 갖는다. 이는 단조 연산자 이론에 의해 존재성과 유일성을 보장한다.
• 역연산자 A⁻¹는 연속적이며, 이는 X₀’ 내에서 데이터 S에 대해 해의 안정성을 의미한다.
• 이 분석은 포아송형 p-CurlCurl 문제에 대한 유한요소 방법의 기초를 제공하며, 본 논문은 타원형 경우에 집중한다.