[논문 리뷰] The pair-flip model: a very entangled translationally invariant spin chain

Libor Caha, Daniel Nagaj|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 18.

Quantum many-body systems참고 문헌 41인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 쿠디트에서 최근접 이웃 상호작용을 갖는 이동 불변이고 도전성이 없는 스핀 체인인 페어플립(PF) 모델을 소개한다. 이 모델은 d≥3일 경우 엔트로피가 √n 비례로 증가하고, 큐비트(d=2)일 경우 로그 n 비례로 증가하는 고도의 얽힘을 가지며, 역다항식 스펙트럼 갭을 유지한다. 모델은 페어크리에이션과 페어플립 규칙을 적용하는 재작성 해밀토니안을 사용하며, 저자들은 작은 외부 편항이 디세너지 상태를 제거하면서도 얽힘 스케일링을 유지할 수 있을 것이라 추측한다.

ABSTRACT

Investigating translationally invariant qudit spin chains with a low local dimension, we ask what is the best possible tradeoff between the scaling of the entanglement entropy of a large block and the inverse-polynomial scaling of the spectral gap. Restricting ourselves to Hamiltonians with a "rewriting" interaction, we find the pair-flip model, a family of spin chains with nearest neighbor, translationally invariant, frustration-free interactions, with a very entangled ground state and an inverse-polynomial spectral gap. For a ground state in a particular invariant subspace, the entanglement entropy across a middle cut scales as $\log n$ for qubits (it is equivalent to the XXX model), while for qutrits and higher, it scales as $\sqrt{n}$. Moreover, we conjecture that this particular ground state can be made unique by adding a small translationally-invariant perturbation that favors neighboring letter pairs, adding a small amount of frustration, while retaining the entropy scaling.

연구 동기 및 목표

• 저차원, 이동 불변 스핀 체인에서 얽힘 엔트로피 스케일링과 역다항식 스펙트럼 갭 간의 상충 관계를 탐구한다.
• 최소한의 국소 차원을 사용하여 고도의 지배 상태 얽힘을 갖는 도전성이 없고 이동 불변 해밀토니안을 구성한다.
• 이와 같은 고도의 얽힘 지배 상태가 작은, 이동 불변 편항을 통해 유일하게 만들 수 있는지 조사한다. 이때 얽힘 스케일링은 변화하지 않는다.
• 얽힘과 갭 스케일링의 한계에 가까운 모델을 특정함으로써 NLTS 추측과 양자 복잡도 이론에 관련된 내용을 밝힌다.

제안 방법

• 최근접 이웃, 이동 불변 프로젝터 항을 사용하여 페어플립 및 페어크리에이션 규칙을 강제하는 재작성 해밀토니안을 설계한다.
• 큐비트(d=2), 큐트리트(d=3), 그 이상의 경우를 위해, 이동성 없는 움직임 항이 없는 모티프킨과 프레드킨 체인에 영감을 받은 형식적 접근을 사용하여 모델을 구성한다.
• 조합적 단어 모델을 사용하여 지배 상태 부분공간을 분석한다. 여기서 구성은 쿠디트 상태의 순서열로, 이웃하는 쌍이 포함된다.
• 수치적 및 해석적 기법을 사용하여 완전히 축약 가능한 단어에서 이웃하는 쌍의 평균 수와 분산을 계산하며, 이들이 n 비례하는 평균 값 주위에 집중되어 있음을 보여준다.
• 이웃하는 쌍을 선호하는 편항을 적용하여 디세너지 상태를 깨뜨리고, 이러한 작은 이동 불변 편항 하에서도 얽힘 엔트로피 스케일링이 유지될 것이라 추측한다.
• 대칭성과 재작성 규칙을 활용하여 스펙트럼 갭에 대한 더 강한 하한을 도출하기 위한 다른 기법의 가능성을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도전성이 없고 이동 불변인 스핀 체인에서 국소 차원이 낮은 경우(d=2,3)에 고도의 얽힘 엔트로피 스케일링을 달성하면서도 역다항식 스펙트럼 갭을 유지할 수 있는가?
• RQ2 이러한 모델에서 달성 가능한 최대 얽힘 엔트로피 스케일링은 무엇이며, 쿠디트 차원 d에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 d≥3일 경우 √n의 얽힘 엔트로피를 갖는 디세너지 지배 상태는 작은, 이동 불변 편항을 통해 유일하게 만들 수 있는가? 이때 얽힘 스케일링은 변화하지 않는다.
• RQ4 PF 모델의 얽힘 엔트로피는 모티프킨 또는 프레드킨 체인과 같은 기존 모델과 비교해 볼 때, 어떤 구조적 특성과 강건성(robustness)을 갖는가?
• RQ5 PF 모델의 매개변수화된 변형을 모티프킨/프레드킨 체인의 변형과 유사하게 구성할 수 있는가? 이때 핵심 성질은 유지된다.

주요 결과

• 큐트리트 및 그 이상의 경우(d≥3)에서, 중심 컷을 기준으로 지배 상태의 얽힘 엔트로피는 √n 비례로 증가하며, 큐비트 체인에서 관찰되는 log n 비례 스케일링보다 크게 초월한다.
• 큐비트(d=2)의 경우, 얽힘 엔트로피는 로그 n 비례로 증가하며, XXX 모델 및 기타 임계 시스템과 유사한 행동을 보인다.
• PF 모델의 스펙트럼 갭은 시스템 크기의 역다항식 비례로 수렴하며, 임계 또는 임계에 가까운 행동과 일치한다.
• 수치적 증거는 완전히 축약 가능한 단어에서 이웃하는 쌍의 수 분포가 3(n+1)/4 주위에 좁게 집중되어 있으며 분산이 O(√n)임을 보여주며, 평균적인 구조의 강건성을 시사한다.
• 저자들은 이웃하는 쌍을 선호하는 작은, 이동 불변 편항을 추가하면 디세너지 상태를 제거할 수 있으며, d≥3일 경우 √n의 얽힘 스케일링은 유지될 것이라 추측한다.
• 이 모델은 모티프킨과 프레드킨 체인과 달리 진정으로 이동 불변이자 도전성이 없으며, 디세너지 상태를 깨뜨리기 위해 경계 조건이 필요하지 않다.