[논문 리뷰] The Palais-Smale condition for contact type energy levels for convex lagrangian systems

Gonzalo Contreras|ArXiv.org|2003. 04. 17.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2-토러스가 아닌 컴act 다성분에서 균일하게 볼록한 라그랑주 시스템에 대해, 접촉형 에너지 수준이 자유 시간 작용 함수에 대해 팔라이스-스무스 조건을 만족함을 증명한다. 이는 변분 방법을 적용하여 거의 모든 에너지 수준에서 폐궤도의 존재를 증명할 수 있게 하며, 이전 방법이 실패하는 저에너지 영역으로까지 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We prove that for a uniformly convex Lagrangian system L on a compact manifold M, almost all energy levels contain a periodic orbit. We also prove that below Ma ne's critical value of the lift of the Lagrangian to the universal cover, almost all energy levels have conjugate points. We prove that if the energy level [E=k] is of contact type and M is not the 2-torus then the free time action functional of L+k satisfies the Palais-Smale condition.

연구 동기 및 목표

• 자유 시간 작용 함수에 대해 볼록한 라그랑주 시스템의 접촉형 에너지 수준에서 팔라이스-스무스 조건을 확립하는 것.
• 이전 결과를 저에너지 영역까지 확장하여 거의 모든 에너지 수준에서 폐궤도의 존재를 보장하는 것.
• 유니버설 커버에서 마냐의 임계값 이하의 에너지 수준에서 공액점의 분석을 수행하는 것.
• 저에너지에서의 비콤팩트성과 팔라이스-스무스 조건의 부재라는 변분 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• H^1 곡선의 힐버트 다양체에서 자유 시간 작용 함수에 대해 모스 이론과 산맥 길이 기하학을 적용하는 것.
• 스트루웨의 증명을 변형하여 거의 모든 에너지 수준에서 팔라이스-스무스 수열의 존재를 보이는 것.
• 에너지 수준이 접촉형이고 구성 공간 M이 2-토러스가 아닐 때, 팔라이스-스무스 조건을 확립하는 것.
• 해밀턴 벡터장 위에서 닫힌 1형식의 작용이 0이 아님으로써 접촉형 에너지 수준을 특성화하는 것.
• 엄격한 임계값 c₀(L)과 호퍼-체른드 용량을 사용하여 저에너지 역학을 분석하는 것.
• 프라우엔펠더와 쇼런크의 결과를 활용하여 이동 가능한 집합과 유한 용량을 고려하여 e₀(L) 이하에서 폐궤도의 존재를 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 시간 작용 함수가 볼록한 라그랑주 시스템에서 어떤 조건을 만족할 때 팔라이스-스무스 조건을 만족하는가?
• RQ2 2-토러스가 아닌 컴팩트 다성분에서 균일하게 볼록한 라그랑주 시스템의 거의 모든 에너지 수준이 폐궤도를 포함하는가?
• RQ3 유니버설 커버에서 마냐의 임계값 이하의 에너지 수준은 공액점을 보이는가?
• RQ4 콤팩트한 접촉형 에너지 수준은 언제이며, 이는 불변 측도와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• M ≠ 𝕋² 인 컴팩트 다성분에서 균일하게 볼록한 라그랑주 시스템에 대해, 모든 접촉형 에너지 수준은 자유 시간 작용 함수에 대해 팔라이스-스무스 조건을 만족한다.
• 거의 모든 에너지 수준이 폐궤도를 포함하며, 이는 이전 결과를 저에너지 영역까지 확장한 것이다.
• 유니버설 커버에서 마냐의 임계값 cᵤ(L) 이하에서는 거의 모든 에너지 수준이 공액점을 가진다.
• 접촉형 에너지 수준은 A_{L+k}(μ) > 0 인 모든 불변 확률 측도 μ(영이 되는 점근적 사이클을 가짐)에 대해 성립하는 것으로 특성화된다.
• 임계값 c₀(L)는 모든 점근적 사이클이 0인 불변 측도에 대해 A_{L+k}(μ) ≥ 0 인 k의 하한이다.
• 닫힌 1형식 θₓ = Lᵥ(x,0)를 가진 비자기 볼록 라그랑주 시스템에 대해, 모든 에너지 수준은 닫힌 궤도를 포함하며, 정상 수준은 A_{L+k}(μ) > 0 인 모든 영이 되는 점근적 사이클 측도에 대해 접촉형이 되는 것과 동치이다.