[논문 리뷰] The parallel sum for adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules

Wei Luo, Chuanning Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 11.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 가역적 연산자에 대한 평행 합을 도입하고 연구하며, 고전적인 행렬 및 힐버트 공간 정의를 일반화한다. 행렬의 조건과 유사한 평행 합 가능 조건을 확립하고, 힐버트 공간에서 유효한 평행 합의 연산자 분해에 의한 대체 해석이 $C^*$-모듈러스 설정에서는 실패함을 보이며, $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 가 $ olimitsackslashmathcal{L}(H)$ 내에 해를 가지지 않는 반례를 제시한다.

ABSTRACT

The parallel sum for adjoinable operators on Hilbert $C^*$-modules is introduced and studied. Some results known for matrices and bounded linear operators on Hilbert spaces are generalized to the case of adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules. It is shown that there exist a Hilbert $C^*$-module $H$ and two positive operators $A, B\in\mathcal{L}(H)$ such that the operator equation $A^{1/2}=(A+B)^{1/2}X, X\in \cal{L}(H)$ has no solution, where $\mathcal{L}(H)$ denotes the set of all adjointable operators on $H$.

연구 동기 및 목표

• 행렬과 힐버트 공간 위의 유계 선형 연산자에 대한 평행 합 개념을 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 가역적 연산자로 확장한다.
• 행렬 이론에서와 유사한 범위 포함 조건과 같은, 양의 가역적 연산자에 대한 평행 합 가능 조건을 규명한다.
• 힐버트 공간에서의 평행 합 해석인 분해 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 가 $C^*$-모듈러스 설정에서도 유효한지 조사한다.
• 힐버트 공간 정의의 기초가 되는 도어거스 정리 기반의 분해 접근법이 힐버트 $C^*$-모듈러스로 일반화되지 않는다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 힐버트 $C^*$-모듈러스 $H$ 위의 두 양의 가역적 연산자 $A$와 $B$에 대해, $A+B$ 가 무어-펜로즈 역행렬을 갖는 경우 평행 합을 $A:B = A(A+B)^\dagger B$ 로 정의한다.
• 행렬 조건을 일반화한 평행 합 가능 조건인 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ 와 $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ 를 확립한다.
• 왼쪽 정규 표현을 사용하여 $\mathcal{L}(\mathfrak{A})$ 를 $C^*$-대수 $\mathfrak{A} = \mathbb{C}(E) \dotplus \mathbb{C}I$ 와 동일시함으로써 반례의 명시적 구성이 가능하게 한다.
• 특정 힐버트 $C^*$-모듈러스 $H = \mathfrak{A}$ 와 컴팩트 연산자 $A_1, B_1$ 가 주어진 분리 가능 힐버트 공간 $E$ 에서 정의된 양의 연산자 $A = L_{A_1}, B = L_{B_1}$ 를 구성하여 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 의 해 존재성을 시험한다.
• $\mathcal{L}(H)$ 내에 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 의 해가 존재하지 않음을 보이기 위해, 필요한 해가 유한 차원 프로젝션을 Calkin 대수에서 유도할 것임을 보여, 모순을 이끌어낸다.
• 컴팩트 연산자의 성질과 $\mathfrak{A}$ 의 구조를 활용하여, 해 $C_1 = D_1 + \lambda I$ 가 $\lambda = 0$ 또는 $\lambda = 1$ 이어야 함을 보이고, 이 두 경우 모두 무한 차원 범위로 인해 모순이 발생함을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 행렬 및 힐버트 공간 연산자에 대한 고전적 평행 합 정의가 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 가역적 연산자로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 범위 포함 조건 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ 와 $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ 가 $C^*$-모듈러스 설정에서도 평행 합 정의에 충분한가?
• RQ3 힐버트 공간에서처럼, 분해 기반의 평행 합 해석인 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 가 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 양의 가역적 연산자에 대해 유효한가?
• RQ4 도어거스 정리 기반의 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 해법 접근법이, 이 설정에서 실패함에도 불구하고 $C^*$-모듈러스 맥락으로 확장되는가?

주요 결과

• 양의 가역적 연산자 $A, B$ 가 힐버트 $C^*$-모듈러스 $H$ 위에 있을 때, $A+B$ 가 무어-펜로즈 역행렬을 갖는 한 평행 합 $A:B = A(A+B)^\dagger B$ 는 잘 정의되어 있다.
• 범위 포함 조건인 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ 와 $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ 는 $C^*$-모듈러스 설정으로 일반화되었으며, 평행 합 존재에 필수적이고 충분한 조건로 밝혀졌다.
• $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 가 $\mathcal{L}(H)$ 내에 해를 가지지 않는 반례가 구성되었으며, 이는 힐버트 공간의 분해 해석이 힐버트 $C^*$-모듈러스로 확장되지 않음을 증명한다.
• 분해의 실패는 필요한 해 $X$ 가 Calkin 대수에서 무한 차원 프로젝션을 유도할 것이며, 이는 편항 항목의 컴팩트성과 모순됨을 뜻한다.
• 이 증명은 $E$ 가 분리 가능 힐버트 공간일 때 $\mathfrak{A} = \mathbb{C}(E) \dotplus \mathbb{C}I$ 의 $C^*$-대수의 구조와, 스칼라 연산자의 컴팩트 편항으로서의 무한 차원 프로젝션 표현이 불가능하다는 사실에 기반한다.
• 결과적으로, 범위의 닫힘 여부 부족과 $C^*$-모듈러스에서의 도어거스 정리 실패는 힐버트 공간의 경우와 비교해 평행 합의 행동을 근본적으로 변화시킨다.