[논문 리뷰] The parametric Frobenius problem and parametric exclusion

Bobby Shen|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 05.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식 수열로 일반화된 매개변수 Frobenius 문제—즉, 고전적 Frobenius 수를 다항식 수열로 확장한 문제—가 매개변수 t에 대해 궁극적으로 준다형함수(EQP)가 되는 것을 확립한다. 새로운 매개변수 배제 문제 프레임워크를 도입하고, 매개변수 정수 선형 프로그래밍을 활용하여, m개 미만의 표현을 가진 정수의 ℓ번째로 큰 수와 이러한 수의 개수 모두가 t에 대해 궁극적으로 준다형함수임을 증명함으로써, Roune와 Woods의 추측을 고정된 m 및 ℓ에 대해 해결한다.

ABSTRACT

The Frobenius number of relatively prime positive integers $a_1, \ldots, a_n$ is the largest integer that is not a nononegative integer combination of the $a_i.$ Given positive integers $a_1, \ldots, a_n$ with $n \ge 2,$ the set of multiples of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ which have less than $m$ distinct representations as a nonnegative integer combination of the $a_i$ is bounded above, so we define $f_{m, \ell}(a_1, \ldots, a_n)$ to be the $\ell^{ ext{th}}$ largest multiple of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ with less than $m$ distinct representations (which generalizes the Frobenius number) and $g_m(a_1, \ldots, a_n)$ to be the number of positive multiples of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ with less than $m$ distinct representations. In the parametric Frobenius problem, the arguments are polynomials. Let $P_1, \ldots, P_n$ be integer valued polynomials of one variable which are eventually positive. We prove that $f_{m, \ell}(P_1(t), \ldots, P_n(t))$ and $g_m(P_1(t), \ldots, P_n(t)),$ as functions of $t,$ are eventually quasi-polynomial. A function $h$ is eventually quasi-polynomial if there exist $d$ and polynomials $R_0, \ldots, R_{d-1}$ such that for such that for sufficiently large integers $t,$ $h(t)=R_{t \pmod{d}}(t).$ We do so by formulating a type of parametric problem that generalizes the parametric Frobenius Problem, which we call a parametric exclusion problem. We prove that the $\ell^{ ext{th}}$ largest value of some polynomial objective function, with multiplicity, for a parametric exclusion problem and the size of its feasible set are eventually quasi-polynomial functions of $t.$

연구 동기 및 목표

• 매개변수 t에 대한 다항식 수열으로 고전적 Frobenius 문제를 일반화한다.
• Roune와 Woods가 제기한, 매개변수 Frobenius 수의 궁극적 준다형함수 성질에 대한 추측을 해결한다.
• 표현 수 계산 문제를 위한 매개변수 정수 선형 프로그래밍을 일반화하고 통합하는 프레임워크인 매개변수 배제 문제를 개발한다.
• m개 미만의 표현을 가진 ℓ번째로 큰 정수와 이러한 정수의 수가 모두 t에 대해 궁극적으로 준다형함수임을 확립한다.

제안 방법

• 매개변수 Frobenius 문제의 일반화로서 매개변수 배제 문제를 도입한다.
• f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t))를 정의한다. 이는 gcd(P₁(t),…,Pₙ(t))의 비음수 정수 계수 조합으로 표현 가능한 수 중에서 m개 이하의 표현을 가진 ℓ번째로 큰 정수이다.
• g_m(P₁(t),…,Pₙ(t))를 정의한다. 이는 gcd(P₁(t),…,Pₙ(t))의 양의 배수 중에서 m개 이하의 표현을 가진 정수의 개수이다.
• 매개변수 정수 선형 프로그램으로 분해하여 f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t))와 g_m(P₁(t),…,Pₙ(t))가 t에 대해 궁극적으로 준다형함수임을 증명한다.
• 매개변수 정수 프로그램의 해집합의 구조를 이용하여, 함수가 고정된 주기 d에 대해 t 모듈로에 따라 의존하며, 구성 요소가 다항식 R₀,…,R_{d−1}로 주어짐을 보인다.
• k가 증가함에 따라 표현 수 h(k)가 무한히 증가함을 이용하여 분석 중인 집합의 유한성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 m 및 ℓ에 대해, ∑b_i P_i(t)의 비음수 정수 계수 조합으로 표현 가능한 수 중에서 m개 이하의 표현을 가진 ℓ번째로 큰 정수는 매개변수 t에 대해 궁극적으로 준다형함수인가?
• RQ2 m개 이하의 표현을 가진 양의 정수의 수 역시 매개변수 t에 대해 궁극적으로 준다형함수인가?
• RQ3 매개변수 Frobenius 문제를 해집합이 구조적으로 잘 정의된 매개변수 정수 선형 프로그래밍 문제로 체계적으로 환원할 수 있는가?
• RQ4 최종 준다형함수의 구성 요소와 생성 다항식의 기본 대수적 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 궁극적 준다형함수 행동의 주기 또는 구성 요소를 계산하는 데 효과적인 경계나 알고리즘 방법이 존재하는가?

주요 결과

• P₁(t),…,Pₙ(t)의 비음수 정수 계수 조합으로 표현 가능한 수 중에서 m개 이하의 표현을 가진 ℓ번째로 큰 정수를 주는 함수 f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t))는 t에 대해 궁극적으로 준다형함수이다.
• gcd(P₁(t),…,Pₙ(t))의 양의 배수 중에서 m개 이하의 표현을 가진 정수의 수를 세는 함수 g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) 역시 t에 대해 궁극적으로 준다형함수이다.
• 이 결과는 P_i(t)가 양의 주계수를 가진 정수 값을 갖는 다항식일 경우 F(P₁(t),…,Pₙ(t))가 궁극적으로 준다형함수임을 보여주는 Roune와 Woods의 추측을 확인한다.
• 증명은 매개변수 Frobenius 문제를 매개변수 배제 문제로 변환하고, 이를 매개변수 정수 선형 프로그래밍을 통해 분석하는 데 기반한다.
• 궁극적 준다형함수의 구성 요소는 매개변수 시스템의 해집합의 구조에 의해 결정되며, 고정된 주기 d에 대해 모듈로로 주기적인 행동을 보인다.
• 프레임워크는 m과 ℓ가 t의 다항식으로 대체될 경우에도 결과 함수가 반드시 궁극적으로 준다형함수일 필요는 없다는 것을 반례를 통해 보여준다.