[논문 리뷰] The performance of the quantum adiabatic algorithm on random instances of two optimization problems on regular hypergraphs

Edward Farhi, David Gosset외 5명|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2012. 08. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 정규 하이퍼그래프에서 3-정규 3-XORSAT 및 3-정규 Max-Cut의 랜덤 인스턴스에 대해 양자 어드바틱 알고리즘(QAA)의 성능을 조사한다. 스토쿠아스틱 하미르تون이 양자 몬테카를로 및 캐비티 방법에 의해 접근 가능하게 하며, QAA는 둘 다 효율적으로 문제를 해결하지 못함을 발견한다: 3-XORSAT는 s=1/2에서 지수적으로 작은 갭으로 인해 실패하며, 이는 제1종 양자 상전이와 관련됨. Max-Cut는 s≈0.36에서 제2종 임계점 이후 지수적으로 작은 갭으로 인해 실패하며, 이는 펌프팅 교차로 인한 것으로 보임.

ABSTRACT

In this paper we study the performance of the quantum adiabatic algorithm on random instances of two combinatorial optimization problems, 3-regular 3-XORSAT and 3-regular Max-Cut. The cost functions associated with these two clause-based optimization problems are similar as they are both defined on 3-regular hypergraphs. For 3-regular 3-XORSAT the clauses contain three variables and for 3-regular Max-Cut the clauses contain two variables. The quantum adiabatic algorithms we study for these two problems use interpolating Hamiltonians which are stoquastic and therefore amenable to sign-problem free quantum Monte Carlo and quantum cavity methods. Using these techniques we find that the quantum adiabatic algorithm fails to solve either of these problems efficiently, although for different reasons.

연구 동기 및 목표

• 3-정규 3-XORSAT 및 3-정규 Max-Cut의 랜덤 인스턴스에 대해 양자 어드바틱 알고리즘(QAA)의 효율성을 평가하기 위해.
• QAA의 런타임 복잡도를 결정하는 통합 하미르톤의 최소 스펙트럼 갭의 스케일링을 분석하기 위해.
• 피하기적 수준 교차 및 상전이가 존재하는 상황에서 QAA가 이러한 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있는지 여부를 규명하기 위해.
• 서명 문제 없이 더 다루기 쉬운 스토쿠아스틱 하미르톤에 대해 양자 몽테카를로 및 양자 캐비티 방법의 수치 결과를 비교하기 위해.

제안 방법

• 연구는 선형 보간 하미르톤 H(s) = (1−s)HB + sHP를 사용하며, 여기서 HB는 횡방향 자기장 하미르톤이고 HP는 각 최적화 문제의 문제 하미르톤이다.
• 문제 하미르톤은 3-정규 하이퍼그래프에 정의된다: 3-XORSAT 클라우즈는 세 개의 변수를 포함하고, Max-Cut 클라우즈는 두 개의 변수를 포함한다.
• 통합 하미르톤은 스토쿠아스틱하므로, 수치 분석을 위해 양자 몽테카를로(QMC) 및 양자 캐비티 방법을 사용할 수 있다.
• 양자 몽테카를로 시뮬레이션은 이중으로 비틀린 기본 상태와 고정된 기본 상태 에너지를 가진 인스턴스에서 수행되며, 캐비티 방법은 일반적인 랜덤 인스턴스를 분석한다.
• Max-Cut의 상전이 임계점은 유한 체적 스케일링 및 갭 분석을 통해 sc ≈ 0.36로 확인된다.
• Max-Cut의 경우 sc 이외의 작은 갭의 원인으로 펌프팅 교차 효과를 조사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAA는 3-정규 3-XORSAT의 랜덤 인스턴스를 다항 시간 내에 해결하는가? 그렇지 않다면 실패의 원인은 무엇인가?
• RQ2 3-정규 Max-Cut의 통합 하미르톤에서의 양자 상전이의 성격은 무엇이며, 최소 갭에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제2종 상전이가 존재하는 상황에서 QAA는 3-정규 Max-Cut에서 왜 실패하는가? 관찰된 작은 갭의 배경이 되는 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 QMC 및 캐비티 방법은 이러한 문제의 스토쿠아스틱 하미르톤에 대해 최소 갭 스케일링을 신뢰성 있게 예측할 수 있는가?
• RQ5 최근 이론적 모델에서 예측한 바와 같이, Max-Cut에서 관측된 작은 갭은 펌프팅 교차로 인한 것인가?

주요 결과

• QAA는 s=1/2에서 제1종 양자 상전이와 관련된 지수적으로 작은 최소 갭으로 인해 3-정규 3-XORSAT에서 실패한다.
• 3-정규 Max-Cut의 상전이 임계점은 정확히 s_c = 0.36로 확인되었으며, 이는 이중성 변환과 유한 체적 스케일링을 통해 도출되었다.
• Max-Cut의 경우, s_c 근처에서는 최소 갭이 다항적으로 감소하지만, s > s_c에서는 지수적으로 작은 갭을 보이며, 이는 런타임 스케일링이 지수적 또는 스트레칭 지수적일 가능성이 있음을 시사한다.
• 레플리카 대칭 캐비티 방법은 3-XORSAT의 QMC 결과와 잘 일치하며, 이는 이 모델의 열역학적 성질에 대해 RS 가정의 정확성을 지지한다.
• 양자 몽테카를로 결과는 Max-Cut의 최소 갭이 시스템 크기와 함께 지수적으로 감소함을 시사하지만, 스트레칭 지수적 피팅도 가능하다.
• Max-Cut에서 sc 이외의 작은 갭은 최근의 이론적 연구에서 예측한 바와 같이 펌프팅 교차로 인한 것으로 보이며, 이는 피하기적 수준 교차의 이론적 모델과 일치한다.